已知函数f（x）=23x3?2ax2-3x（a∈R）．

（1）f'（x）=2x²-4ax-3，对称轴x＝a∈[?
1
4，
1
4]?(?1，1)
f′(x)min＝f′(a)＝?2a2?3＜0，f′(1)＝?2a?
7
2＜0，f′(?1)＝2a?
7
2＜0
f′（x）_max=maxf′（1），f′（-1）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（2）∵f（x）在（-1，1）内只有一个极值点，
∴f'（x）=0有两个实根x₁，x₂且x₁∈（-1，1），x₂?（-1，1）．
若x₁∈（-1，1），x₂∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f'（-1）?f'（1）＜0
∴a＞
1
4或a＜?
1
4．
经检验x₂=-1或x₂=1时x₁?（-1，1）．
∴a＞
1
4或a＜?
1
4．

试题解析：

（1）首先对于函数求导，得到导函数是一个二次函数，根据二次函数的性质对于导函数的符号进行验证，得到结果．
（2）设出极值点，根据函数在所给的区间上只有一个极值点，对于函数的导函数的符号进行讨论，得到结果．

名师点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的极值和单调性的应用，属于中档题．