在Rt三角形abc中,角A=15°,角C=90°,求AC/BC

在Rt三角形abc中,角A=15°,角C=90°,求AC/BC

解：作AB的垂直平分线DE，交AB于E，AC于D
∵DE垂直平分AB
∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝15
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝30
∵∠C＝90
∴BD＝2BC，CD＝√3BC
∴AD＝BD＝2BC
∴AC＝AD+CD＝（2+√3）BC
∴AC/BC＝2+√3
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bc／ac=b／a=sinb／sina

∵a=15°   c=90°

∴b=75°   sina=cosb

∴bc／ac=tanb=tan75°=2+√3

晕，不写清楚。

bc/ac=a/b=tan15°=2-√3

初二也学了三角函数了吧，这题只是考察特殊角的三角函数值。

这个题目就是求cot15啊。这中题目是可以求解的，利用书上的公式，我们知道首先 cotx=1/（tanx）,另外，tan2x=2tanx/(1-tanx^2),联合这两个等式就可以求出来cot15的值。

角A=15°，角C=90°，由于三角形内角和=180°，即角A+角B+角C=180°，解得角B=75°；再由正弦定理，有：AC/sinB=BC/sinA，即有AC/BC=sinB/sinA=sin75°/sin15°，因为sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)*(√3/2)+(√2/2)*(1/2)=(√6+√2)/4，sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=(√2/2)*(√3/2)-(√2/2)*(1/2)=(√6-√2)/4，所以AC/BC=(√6+√2)/(√6-√2)=(5+2√3)/2。

∵∠C=90°，∴cot∠A=AC/BC cot∠A=cos∠A/sin∠A=cos15°/sin15° sin15=sin(45-30) =sin45cos30-sin30cos45 =√2/2×√3/2-1/2×√2/2 =√6/4-√2/4 =(√6-√2)/4 cos15=cos(45-30) =cos45cos30+sin30sin45 =√2/2×√3/2+1/2×√2/2 =√6/4+√2/4 =(√6+√2)/4 cot∠A=cos15°/sin15°=(√6+√2)/(√6-√2)=2+√3