一道初三几何数学题

正方形ABCD的对角线AC，上有任意一点F，作FE⊥AB,FG⊥AD.连接BG,BG的中点N，CF的中点M,连接MN,问:MN与BG有什么关系？要详细的解答过程。

连MG,MB,ME,过M作MP⊥AB于P

∵EF⊥AB

∴EF∥MP

∵M是CF中点

∴P是BE中点,即MP垂直平分BE

∴MB=EM

∴∠BMP=∠EMP

∵ABCD是正方形,EF⊥AB,FG⊥AD

∴AEFG为正方形

∴∠EAM=∠GAM=45°,AE=AG

∵AM=AM

∴△AEM≌△AGM

∴EM=GM,∠GMA=∠EMA

∴MB=MG,∠GMB=2(∠EAM+∠EMP)=2∠AMP=2(90°-∠EAM)=90°

∵N是BG中点

∴MN⊥BG,BG=2MN(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)