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如何求证下列不等式???

答案:2  悬赏:80  手机版
解决时间 2021-05-06 15:49

题目为a平方+b平方+c平方<2(ab+ac+bc)

a,b,c为三角形三边。请求写出过程

最佳答案

根据三角形三边长度关系,任何两边之差小于第三边,有


b-c < a


a-c < b


a-b < c


三式两边同时平方,相加得


(b-c)²+(a-c)²+(a-b)² < a²+b²+c²


展开得(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)+(a²-2ab+b²) < a²+b²+c²


整理可得:a²+b²+c² < 2(ab+ac+bc)

全部回答

因为a,b,c为三角形三边,则有任何两边之差小于第三边,即有b-c<a,a-c<b,a-b<c

所以(b-c)平方+(a-c)平方+(a-b)平方<a平方+b平方+c平方

即(a平方-2bc+c平方)+(a平方-2ac+c平方)+(a平方-2ab+b平方)<a平方+b平方+c平方

去括号,移项得:a平方+b平方+c平方<2(ab+ac+bc)

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