线性空间的基的问题已知(a1,……an)是n维空间的一组基,A为n阶满秩方阵 (b1,……bn)=(

线性空间的基的问题已知(a1,……an)是n维空间的一组基,A为n阶满秩方阵 (b1,……bn)=(

是的.证明如下：因为矩阵A为n阶满秩矩阵所以矩阵A可逆,逆矩阵为A^(-1)因为(b1,...,bn)=(a1,...,an)*A所以(b1,...,bn)*A^(-1)=(a1,...,an)*A*A^(-1)所以(b1,...,bn)*A^(-1)=(a1,...,an)设A^(-1)=(A1 A2 ... An),其中Ai为n维列向量,i=1,2,...,n则(b1,...,bn)*(A1 A2 ... An)=(a1,...,an)所以根据矩阵乘法的定义得,(b1,...,bn)*A1=a1(b1,...,bn)*A2=a2……………………(b1,...,bn)*An=an因为A可逆,即A^(-1)可逆,所以Ai≠0向量所以向量ai均可被向量组b1,...,bn线性表示所以向量组a1,...,an可被向量组b1,...,bn线性表示又因为向量组a1,...,an是n维线性空间的一组基所以向量组b1,...,bn也是n维线性空间的一组基======以下答案可供参考======供参考答案1:还要看(a1,……an)中的列向量的维数供参考答案2:因为 (b1,……bn)=(a1,……an)A所以 b1,...,bn 可由 a1,...,an 线性表示因为A可逆, 所以 (b1,……bn)A^-1=(a1,……an)所以 a1,..,an 可由 b1,...bn 线性表示所以两个向量组等价, 故秩相同所以 r(b1,……bn)=r(a1,……an)=n所以 b1,...,bn 线性无关, 故是基.供参考答案3:显然的，因为r (b1,……bn)=r[(a1,……an)A]=r(a1,……an)=n故(b1,……bn)是一组基

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