设A为m阶正定对称阵，B为mxn阶阵，在己知BTAB正定时求r(B)=n
答案:2 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-04-07 14:26
- 提问者网友：山高云阔
- 2021-04-07 09:23
设A为m阶正定对称阵，B为mxn阶阵，在己知BTAB正定时求r(B)=n
最佳答案
- 五星知识达人网友：摆渡翁
- 2021-04-07 10:30
B是m×n矩阵, BX = 0的解就是使得B的列向量线性组合得0的组合系数.
因此BX = 0只有零解, 等价于B的列向量线性无关, 等价于B的列秩为n, 即r(B) = n.
也可以有别的说法, 例如由BX = 0的解空间维数为n-r(B).
因此BX = 0只有零解, 等价于B的列向量线性无关, 等价于B的列秩为n, 即r(B) = n.
也可以有别的说法, 例如由BX = 0的解空间维数为n-r(B).
全部回答
- 1楼网友：洒脱疯子
- 2021-04-07 10:39
" 根据 BX=0 仅有 0 解才能推导出 B 的秩等于 n ”，
这是书上的定理内容：方程AX=0有非零解当且仅当r(A)<未知量的个数，于是，方程AX=0有非零解当且仅当r(A)=未知量的个数
事实上，若设B的列向量分别为b1,b2,……,bn, X=(x1,x2,……,xn)T,
则 BX=0 仅有 0 解 即 x1b1+x2b2+……+xnbn=0 仅有 0 解，
这说明向量组b1,b2,……,bn线性无关，从而r(b1,b2,……,bn)=r(B)=n
这是书上的定理内容：方程AX=0有非零解当且仅当r(A)<未知量的个数，于是，方程AX=0有非零解当且仅当r(A)=未知量的个数
事实上，若设B的列向量分别为b1,b2,……,bn, X=(x1,x2,……,xn)T,
则 BX=0 仅有 0 解 即 x1b1+x2b2+……+xnbn=0 仅有 0 解，
这说明向量组b1,b2,……,bn线性无关，从而r(b1,b2,……,bn)=r(B)=n
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