数学证明题

求证：对于一个给定的正整数 ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

设这个给定的正整数为n,公差为d，则

n的前一项是n-d，n的后一项是n+d

假设这个数列是等比数列，那么就有

n^2=(n-d)(n+d)=n^2-d^2

则 -d^2=0

又因为各项及公差都不为零

所以 -d^2=0，不成立

即假设不成立，原命题得证

构造数列，该数列的任意三项（按原来顺序)都不能成等比数列

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数列{a(n)}:a(n)=1+(n-1)π(π是圆周率)是首项是1,公差为π的等差数列

该数列的任意三项（按原来顺序)都不能成等比数列

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若数列的第j+1、k+1、m+1(j<k<m)成等比数列，那么

（1+kπ)^2=(1+jπ)(1+mπ)

整理，得：k^2π+2k=jmπ+m+j

即(m+j)-2k=(k^2-mj)π

j 、k、m是整数

则(m+j)-2k=0且k^2-mj=0

由(m+j)-2k=0,得：k=(m+j)/2

代入k^2-mj=0得：(m+j)^2/4-mj=(m-j)^2/4=0

推导出：m=j

与假设j<k<m矛盾

所以数列的第j+1、k+1、m+1(j<k<m)不成等比数列

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