r^5×(R²－r²)^½dr怎么求原函数，就是怎么积分。小生对多次方复合根号函

r^5×(R²－r²)^½dr怎么求原函数，就是怎么积分。小生对多次方复合根号函

let
r=Rsinu
dr=Rcosudu
∫r^5.(R^2－r^2)^(1/2) dr
=∫ R^5.(sinu)^5 .(Rcosu) . Rcosudu
=R^7. ∫ (sinu)^5 .(cosu)^2 du
=-R^7. ∫ (sinu)^4 .(cosu)^2 dcosu
=-R^7. ∫ [1-(cosu)^2]^2 .(cosu)^2 dcosu
=-R^7. ∫ [ (cosu)^2 -2(cosu)^4 +(cosu)^6 ] dcosu
=-R^7 .[ (1/3)(cosu)^3 - (2/5)(cosu)^5 + (1/7)(cosu)^7] +C
=-R^7.{ (1/3)[√(R^2-r^2)/R]^3 - (2/5)[√(R^2-r^2)/R]^5 + (1/7)[√(R^2-r^2)/R]^7 } +C

令r=Rcosx
你就会了

注意到
d(R^2-r^2) = -2rdr
r^4=(R^2-(R^2-r^2))^2
所以 令 t = R^2-r^2
然后代入，展开，就是一些 t 的幂的积分了，很容易。
-((-r^2 + R^2)^(3/2)*(15*r^4 + 12*r^2*R^2 + 8*R^4))/105 +C

## 凑微分