已知正整数a,b,c,d且满足1<a<b<c<d

已知正整数a,b,c,d且满足1求所有的a,b,c,d,使得
abcd-1为(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)的整数倍.
问题补充：是乘积.
补充:答案是:2,4,10,80或3,5,17,255.
我要的是过程,不要答案!

第一步：这四个数同奇偶
如果abcd中有奇数，有偶数
则abcd为偶数；abcd-1为奇数。而(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)为偶数。
奇数不可能是偶数的整数倍。
只有abcd同为奇数、或同为偶数时才能成立。

第二步：质因子
abcd-1，必定有(a-1)、(b-1)、(c-1)、(d-1)四个因子。
abcd-1，必定没有有(a)、(b)、(c)、(d)四个因子，及其质因子
abcd，必定有(a)、(b)、(c)、(d)四个因子。
abcd，必定没有(a-1)、(b-1)、(c-1)、(d-1)四个因子，及其质因子

第三步：比值
N=(abcd-1)/((a-1)(b-1)(c-1)(d-1)< a/(a-1)*b/(b-1)*c/(c-1)*d/(d-1)
根据同奇偶考虑，数字越小，N的比值越大。
N< 2/1*4/3*6/5*8/7= 3.65714。 而N最大为3，
N只能为2或3。
令这个比值为P＝a/(a-1)*b/(b-1)*c/(c-1)*d/(d-1)

第四步：当n=2时，
n＝2时，abcd-1为偶数，abcd为奇数，a、b、c、d都是奇数

a的最小值为3。
如果a为5时，P（最大）＝ 5/4*7/6*9/8*11/10<2，不能成立

同理ab的可能值只能是 3、5；3、7；3，9；b不能更大，不然P<2
如果a＝3，b＝7， 2a＝(b-1)，根据第二步，3，7不能成立。
3，9，11，13一组数字不成立，而3，9，13，15以后 P<2
所以N=2时，只有a、b＝3，5的可能

原式简化为
3×5×c×d－1＝2×2×4×（c－1）（d－1）
d=(16c-17)/(c-16)；明显c＝17，d＝255为一组解。
所以N=2时，abcd＝3、5、17、255

第五步：N＝3，abcd的奇偶性不定，当然必须同奇偶
同理应为P的原因，当a＝3，是
P=3/2*5/4*7/5*9/8<3
所以 a＝2；
同样ab只能取2，4；2，6两组，
而取2，6，8，10时，不是解，而2，6，8，12同样P<3
所以ab只能取2，4
原式简化为
2×4×c×d－1＝3×1×3×（c－1）×（d－1）
d＝（9c－10）/(c-9)
明显c＝10，d＝80是一组解

abcd＝2、4、10、80

d

e

∵ab+bc+ac=abc， ∴ 1 c + 1 b + 1 a =1， ∵0＜a＜b＜c， ∴1＜a＜b＜c， ∴ 1 a ＞ 1 b ＞ 1 c ， ∴ 1 a + 1 b + 1 c ＜ 3 a ， 即 3 a ＞1， ∴a＜3， ∵a＞1， ∴a=2， ∴ 1 b + 1 c = 1 2 ， ∵ 1 c ＜ 1 b ， 则 2 b ＞ 1 2 ， 即b＜4， ∵b＞a=2， ∴b=3， ∴ 1 c =1- 1 2 - 1 3 = 1 6 ， ∴c=6． ∴a=2，b=3，c=6． ∴d=abc=2×3×6=36． 故答案为：36．

n＝2时，abcd-1为偶数，abcd为奇数，a、b、c、d都是奇

这四个数同奇偶 如果abcd中有奇数，有偶数 则abcd为偶数；abcd-1为奇数。而(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)为偶数。 奇数不可能是偶数的整数倍。 只有abcd同为奇数、或同为偶数时才能成立。 质因子 abcd-1，必定有(a-1)、(b-1)、(c-1)、(d-1)四个因子。 abcd-1，必定没有有(a)、(b)、(c)、(d)四个因子，及其质因子 abcd，必定有(a)、(b)、(c)、(d)四个因子。 abcd，必定没有(a-1)、(b-1)、(c-1)、(d-1)四个因子，及其质因子 比值 N=(abcd-1)/((a-1)(b-1)(c-1)(d-1)< a/(a-1)*b/(b-1)*c/(c-1)*d/(d-1) 根据同奇偶考虑，数字越小，N的比值越大。 N< 2/1*4/3*6/5*8/7= 3.65714。 而N最大为3， N只能为2或3。 令这个比值为P＝a/(a-1)*b/(b-1)*c/(c-1)*d/(d-1) 当n=2时， n＝2时，abcd-1为偶数，abcd为奇数，a、b、c、d都是奇数 a的最小值为3。 如果a为5时，P（最大）＝ 5/4*7/6*9/8*11/10<2，不能成立 同理ab的可能值只能是 3、5；3、7；3，9；b不能更大，不然P<2 如果a＝3，b＝7， 2a＝(b-1)，根据第二步，3，7不能成立。 3，9，11，13一组数字不成立，而3，9，13，15以后 P<2 所以N=2时，只有a、b＝3，5的可能 原式简化为 3×5×c×d－1＝2×2×4×（c－1）（d－1） d=(16c-17)/(c-16)；明显c＝17，d＝255为一组解。 所以N=2时，abcd＝3、5、17、255 N＝3，abcd的奇偶性不定，当然必须同奇偶 同理应为P的原因，当a＝3，是 P=3/2*5/4*7/5*9/8<3 所以 a＝2； 同样ab只能取2，4；2，6两组， 而取2，6，8，10时，不是解，而2，6，8，12同样P<3 所以ab只能取2，4 原式简化为 2×4×c×d－1＝3×1×3×（c－1）×（d－1） d＝（9c－10）/(c-9) 明显c＝10，d＝80是一组解