设H是有限群G的一个子群. p是|G|的最小素因子. 如果|G|/|H|=p,试证H一定是G的一个正规子群.

设H是有限群G的一个子群. p是|G|的最小素因子. 如果|G|/|H|=p,试证H一定是G的一个正规子群.

因为|G|/|H|=p，所以H的左陪集有p个。
令X为H的全体左陪集所成的集合: X={H，a1H，a2H，...，a(p-1)H}。
定义群作G在X上的群作用为 g(xH)=(gxH)，g∈G。
因此有同态σ:G→S(X)
(这里S(X)表示集合X上的置换构成的对称群。由于|X|=p，所以|S(X)|=p!。)
上面括号里的内容不清楚可以追问。
由群同态基本定理可得G/(Ker σ)≌Imσ则|G/(Ker σ)|整除|S(X)|，即[G：Ker σ]整除(G，p!)=p
若x∈Ker σ，则x(H)=xH=H，所以x∈H
因此Ker σ是H的子群，则[G：Ker σ]>[G：H]=p。
而[G：Ker σ]又整除p，则Ker σ只能等于H。
说明H一定是G的一个正规子群。