三角形ABC的三条中线AD,BE,CF长分别是5.12.13求三角形ABC的面积 图见

三角形ABC的三条中线AD,BE,CF长分别是5.12.13求三角形ABC的面积 图见
求详解 ,8.26日中午前给我,TK

考虑到三条中线的长为一组勾股数.
现在设法将三条线挪动到一个三角形内.
(通常有中线都这么处理)
延长BE至P(或者CP平行AB,AP平行BC)总之让ABCP是平行四边形.
取CP 边上的中点Q,连接AQ,DQ,可以看出来AQ=AD,(对称的)
而直线FEQ显然平行BC且D,Q是中点,所以DQ是三角形CBP的中位线,平行于BP,
那么BEQD是平行四边形,所以DQ=BE.
那么三角形ADQ就是我们想要的三角形,由勾股定理得知,角DAQ是直角,
设三角形ABC的面积是S
则ABCP的面积是2S ,三角形ABD,三角形AQP的面积都是S/2
而三角形DCQ的面积与三角形DCE的面积同底(DC)等高(FP平行于BC)
所以二者面积相等,
又三角形DEC的面积是ABC的 1/4所以
三角形DCQ的面积为S/4
所以
三角形ADQ的面积=平行四边形的面积-三角形ABD的面积-三角形AQP的面积-三角形DCQ的面积
=2S-S/2-S/2-S/4
=3S/4
而直角三角形ADQ的面积易得为5*12/2=30
所以 30=3S/4
则S=40