问 lim x->0 √(1+xsinx)-cos/x(e^x-1) 帮我写写过程和用到的定理，谢谢！

问 lim x->0 √(1+xsinx)-cos/x(e^x-1) 帮我写写过程和用到的定理，谢谢！

解答：你这道题的分母是不是lim x->0 √(1+xsinx)-cosx啊，是忘了一个中括号吗？
先用等价无穷小，x->0时，（e^x-1)等价于x
原式=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x(e^x-1)
=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x^2
=lim x->0 (1+xsinx-cos^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [1+xsinx-(1-sin^2x)]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 (xsinx+sin^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)sinx]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)x]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0时，sinx等价于x)
=lim x->0 (x^2+x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 x^2/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0时，x^2+x等价于x^2)
=lim x->0 1/[√(1+xsinx)+cosx]
=1/2 (将x=0带入）追问又是你哈，是少写了x
xsinx+sin^2x怎么等于(x+1)sinx啊？追答提起公因式sinx，啊，不对，我犯错误了！应该是等于（x＋sinx）sinx，然后用等价无穷小，x＋sinx～2x，sinx～x，所以上式＝2x²，所以我的解答过程当中倒数第二步应该lim(x→0)2/[√(1＋xsinx)＋cosx]＝2/2＝1.
哎，这就是粗心的结果追问等价无穷小不是只能在乘除中用么？为什么x+sinx也能用啊？追答哈哈，我就怕你不问这个问题！我等的就是你问这个问题！你说得对，加减法运算一般是不能用等价无穷小的，我写x＋sinx～2x，并不是因为sinx～x，然后x＋sinx～x＋x～2x，其实不是这样的！我们知道如果limα/β＝1，那么α就是β的等价无穷小，即α～β，那么现在，把x＋sinx看做一个整体，因为lim(x→0)(x＋sinx)/2x＝lim(x→0)(1＋cosx)/2＝1，所以x＋sinx是2x的等价无穷小，所以x＋sinx～2x，现在懂了吗？