求证1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+……+1/(n^2)≥3n/(2n+1)

求证1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+……+1/(n^2)≥3n/(2n+1)

你好

用数学归纳法
证明
当n=1时，
左边=1=右边
当n=2时
左边=1+1/4=5/4
右边=6/5
左边＞右边
假设当n=k，k∈N时成立，则
1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+……+1/(k^2)≥3k/(2k+1)
当n=k+1时
1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+……+1/(k^2)+1/（k+1）^2
≥3k/(2k+1)+1/（k+1）^2
1/（k+1）^2-3/（2k+1)（2k+3）
=[（2k+1)（2k+3）-3（k+1）^2]/（k+1）^2（2k+1)（2k+3）
=（k^2+2k）/（k+1）^2（2k+1)（2k+3）
因为k为正，所以上式大于0
1/（k+1）^2＞3/（2k+1)（2k+3）
原式＞3k/(2k+1)+3/（2k+1)（2k+3）
=[3k*（2k+3）+3]/（2k+1)（2k+3）
=3（2k²+3k+1）/（2k+1)（2k+3）
=3（2k+1）（k+1）/（2k+1)（2k+3）
=3（k+1）/（2k+3）
=3（k+1）/[2（k+1）+1]
也成立
所以1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+……+1/(n^2)≥3n/(2n+1)

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