若a>0,b>0,c>0,求证：a、b、c的立方和>=3abc

你好

证明：（用比较法。）已知a>0,b>0,c>0.
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
又因为a^2+b^2+c^2>=2ab;b^2+c^2>=2bc;c^2+a^2>=2ca.(a=b=c时等号成立）
两边同时相加，得到：2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)
所以：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca.
故得到：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>=0
又因为：a+b+c>0.
两边分别相乘得到:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)>=0
于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3>=3abc成立。
当仅当a=b=c时等号成立。

谢谢