求椭圆面x²+2y²+4z²=1与平面x+y+z=√7之间的最短距离。
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解决时间 2021-03-17 14:30
- 提问者网友：绫月
- 2021-03-17 04:40
求椭圆面x²+2y²+4z²=1与平面x+y+z=√7之间的最短距离。
最佳答案
- 五星知识达人网友：北城痞子
- 2021-03-17 05:49
设平面x+y+z=d与椭球面x^2+2y^2+4z^2=1①相切，
把x=d-y-z代入①，得3y^2-2(d-z)y+5z^2-2dz+d^2-1=0,
△(y)/4=(d-z)^2-3(5z^2-2dz+d^2-1)
=-14z^2+4dz-2d^2+3,
△(z)/8=2d^2+7(-2d^2+3)=21-12d^2=0,
d^2=7/4,d=√7/2（舍去负值），
∴椭球面①与平面x+y+z=1之间的最短距离=|√7/2-1|/√3=（√21-2√3）/6.
把x=d-y-z代入①，得3y^2-2(d-z)y+5z^2-2dz+d^2-1=0,
△(y)/4=(d-z)^2-3(5z^2-2dz+d^2-1)
=-14z^2+4dz-2d^2+3,
△(z)/8=2d^2+7(-2d^2+3)=21-12d^2=0,
d^2=7/4,d=√7/2（舍去负值），
∴椭球面①与平面x+y+z=1之间的最短距离=|√7/2-1|/√3=（√21-2√3）/6.
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