请教数学高手2道题

一，边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x² —(k+2)x+4k=0的两根，求K的值并确定直角三角形三边之长

二，自△ABC内任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE，证明：AE=AF。

1

设原方程两根分别为x1,x2(x1≤x2)
由韦达定理可知x1+x2=k+2,即4x1+4x2=4k+8
    x1x2=4k
两式相减得x1x2-4x1-4x2+8=0
x1x2-4x1-4x2+16=8
(x1-4)(x2-4)=8
∵x1-4>-4,x2-4>-4
∴x1-4=1,  x2-4=8或x1-4=2,x2-4=4
得x1=5,x2=12，此时5+12=k+2,k=15或x1=6,x2=8此时6+8=k+2,k=12
三边分别为5,12,13 和6,8,10

2.

连接BP,AP,CP，因为PF垂直于AB,PD垂直于BC且BF=BD，则三角形BPF等于三角形BPD所以PF等于PD,同理PE等于PD，所以PF等于PE,又因为PF垂直于AB,PE垂直于AC，所以三角形AFP等于三角形AEP，所以AE=AF.

设两个只脚边分别为a,b斜边为c,其中a,b,c为整数

那么c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

a,b是方程x² —(k+2)x+4k=0的两根，所以△≥0--->k≤6-4√2或者k≥6+4√2

由韦达定理可得：a+b=k+2(说明k也是整数且大于-2 ) ab=4k(k>0)  ---->k≥6+4√2=11.6

a,b=[k+2±√(k^2-12k+4)]/2----->a,b要为整数，所以k^2-12k+4首先得为平方数，所以k=12

=12或者16

c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(k+2)^2-8k=(k-2)^2----->c=k-2=10

三边长为：12，16，10

二。PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB

BD=BF，CD=CE 通过全等----->DP=FP=EP

那么三角形AFP全等与三角形AEP

所以AE=AF

第一个题有些公式忘记了，还在回忆。但是第两个题都很简单啊。第二题，连接pa pb pc,就知道直角△cpe≌cpd.bpd≌bpf.它们是直角三角形呐。就可以知道ep=dp.fp=dp, ok?那么ep=fp, ok?那么直角三角形ape≌apf, ok?所以ae=af. ok?

设直角边为a，b，则有

a+b=k+2

ab=4k

ab=4(a+b-2), 移项变形：(a-4)(b-4)=8， 8=8*1=4*2, 则a-4=8,b-4=1 或a-4=4，b-4=2 解出：

a=12,b=5,k=(a+b)-2=15,勾股定理求出第三边c=13 或a=8,b=6,k=14 勾股定理求出第三边c=10

这道题没有图吗？