点p是曲线y=ln2x上一点,点q是y=1/2e^x上一点 求 pq最小值

点p是曲线y=ln2x上一点,点q是y=1/2e^x上一点 求 pq最小值

两个函数互为反函数,关于x=y对称,故求其中一个函数到x=y的距离最近的点即可.取y=ln2x,求导使导函数等于1,解得距x=y最近的点为（1,ln2）,由对称性知另一个函数上距x=y最近的点为（ln2,1）,两点距离即为答案,根2倍的1-ln2.

解： ∵函数y=1/2e^x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称 函数y=1/2e^x上的点p(x，1/2 e^x)到直线y=x的距离为d=|1/2e^x-x|/ √2  设g（x）=1/2 e^x-x，（x＞0）则g′(x)=1/2 e^x-1 由g′(x)=1/2 e^x-1≥0可得x≥ln2， 由g′(x)=12 e^x-1＜0可得0＜x＜ln2 ∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增 ∴当x=ln2时，函数g（x）min=1-ln2 dmin=(1-ln2)/ √2   由图象关于y=x对称得：|pq|最小值为2dmin=  √ 2 (1-ln2)