材料力学中扭转应变能力推导中到底是哪里出错了，抓狂啊！！！

材料力学中扭转应变能力推导中到底是哪里出错了，抓狂啊！！！

应变能的积分公式写错了，应该为 Vε = ∫ 0.5*Μ*dφ 。
这是变力功，没有变形时扭矩为0的，扭转角变大时扭矩T才逐渐变大。所以变力功需要乘个 1/2 。

如果不明白，可以继续追问啊。追问但是力矩做功的公式为W=M•φ而微分表达式为W=∫ M•dφ，而系数1/2应该是最后积分结果包含的。
如果用φ=ML/GI→M=φGI/L，然后带入上式微分方程则结果正确。追答应变能一定是在长度上积分，所以你写的那个∫ M•dφ在0~φ的积分表达式是错误的，不能用这个计算应变能。不然的话，为什么M=φGI/L代入 ∫ M•dφ 在0~L的积分就不对了呢？

力矩使得圆轴扭转作功： W=(1/2)*M*φ 。变力作功，一定有系数1/2 。查材力教材能量法这一章就知道了。

类似的，拉压变形轴力作功： W=(1/2)*F*dL，弯曲变形 W=(1/2)*M*dθ，应变能密度 (1/2)*σ*ε。都是有1/2的。

包括你给的最终扭转应变能 V=M^2*L/2GI，这个1/2也是由变力功引起的。如果按照你的理解，W=M•φ，其中的φ=ML/GI，那么应变能应该是 V=M^2*L/GI，这个又如何解释？

应变，在外力和非均匀温度场等因素作用下物体局部的相对变形。
　　物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为
　　

式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。
　　主要有线应变和角应变两类。线应变又叫正应变，它是某一方向上微小线段因变形产生的长度增量（伸长时为正）与原长度的比值；角应变又叫剪应变或切应变，它是两个相互垂直方向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示，角度减小时为正。应变与所考虑的点的位置和所选取的方向有关。物体中一点附近的微元体在所有可能方向上的应变的全体称为一点的应变状态。