方程y"-6y'+9y=x^2e^3x的特解应设为什么？？ 为啥是y*=x^2(ax^2+bx+c)e^3x

方程y"-6y'+9y=x^2e^3x的特解应设为什么？？ 为啥是y*=x^2(ax^2+bx+c)e^3x

解答：
原微分方程的特征方程为：
r^2-6r+9=0
得r1=r2=3，
因为3是该特征方程的重根，所以特解应设为
y*=x^2*(ax^2+bx+c)e^3x.

总结：对于微分方程的等式右端中的f(x)=e^kx，1.若k不是特征放方程的根，则特接应设为y*=Qm(x)*e^kx，2.若m 是特征方程的单根，则特解应设y*=xQm(x)*e^kx，3.若m是特征方程的重根，则特解应设为y*=x^2Qm(x)*e^kx.。
以上Qm(x)=a0*x^m+a1*x^(m-1)+a2*x^(m-2)+......+am*x^0

特征方程 r^2-6r+9=0 特征根 r1,r2 =3 对应齐次方程通解 y~ = ( c1 + c2 x) e^(3x) 设特解形如 y * = x² (ax+b) e^(3x), y* ' = (3a x² + bx + 3a x³ + 3b x²) e^(3x), y* '' = [ 9(a x³ + b x²) + 6(2b x + 3a x²) + 2b + 6a x ] e^(3x) 代入原方程 => a= 1/6, b=1/2 => 通解 y = ( c1 + c2 x) e^(3x) + x² (x/6 + 1/2) e^(3x)