分段函数f(x) ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0问a为何值时,f(x)在x=0

分段函数f(x) ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0问a为何值时,f(x)在x=0

a=-1; f(x)要在x=0处连续 只需有：[x->0]limf(x)=f(0)即可. 对于本题,f(x)在0点连续那么就可得出： [x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=6; [x->0-]lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=6; 对于第一个等式,sin(x/4)可用x/4等价无穷小代换,分母x*sin(x/4)即可代换为 x^2/4 再看分子,e^(ax)泰勒展开得：e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2) 那么分子即为：x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2). 分子分母同时除去x^2即可得[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4）=2a^2+4 2a^2+4=6即可解得a=1或a=-1. 再看第二个等式,ln(1+ax^3)可代换为ax^3, 那么lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=lim ax^3/(x-arcsinx),再用落必达法则求极限：lim ax^3/(x-arcsinx)=lim3ax^2/[1- 1/sqrt(1-x^2)].整理过后得: lim [3ax^2 ×sqrt(1-x^2)]/[sqrt(1-x^2) -1]. 分子分母同时乘[sqrt(1-x^2) +1]后再同时除去 x^2 即可得： lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=-6a=6,即可得出a=-1.这样一来第一个等式解得的a=1就没用了.也就是说其实可以只做第二个等式就行了.

这个答案应该是对的