假如A是n阶矩阵，b是n维非零向量，r1,r2非齐次线性方程组AX=b的解，m是齐次线性方程AX=0的解。

若r1,r2,不相等，证明r1,r2,线性无关 若A的秩为n-1,证明m,r1,r2线性相关

若r1,r2线性相关则r1,r2成倍数关系，
既有r1=kr2而知道r1-r2为齐次方程的解，r1-r2=（1-k）r2
所以有A（1-k）r2=（1-k）Ar2=0 与Ar2=b矛盾！，所以两个无关

如果A的秩为n-1，可得e就是基础解系，所以通解（取某一个解必存在c1和c2都可以被e和r1，r2表示）既有
x=c1e+r1，x=c2e+r2都要成立，相减有有（c1-c2)e+r1-r2=0,所以相关

(1/3)(r1+2r2) = (1/3)(2,1,-1,3)^t 是 ax=b 的特解 (r1+2r2)-(2r2+r3) = (1,0,-1,0)^t (r1+2r2)+(r1-4r3) = (3,4,0,3)^t 线性无关,且由r(a)=2知是ax=b的基础解系 所以 ax=b 的通解为 (1/3)(2,1,-1,3)^t +k1(1,0,-1,0)^t+k2(3,4,0,3)^t

设k1r1+k2r2=0，左乘A得k1b+k2b=0，由于b非零，故k1=-k2。代入第一个式子中得k1(r1-r2)＝0，而r1－r2非零，故必有k1＝0，于是k2=0，即r1，r2线性无关。 若A的秩为n-1，则齐次方程Ax=0的解的基础解系中含一个向量，而A(r1-r2)＝b－b＝0，故r1－r2是基础解系，而m是齐次方程的解，故m可用基础解系表出，故m＝k(r1-r2)，这即为m，r1，r2线性相关