若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）?f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞

若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）?f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）当f(4)＝
1
16 时，对a∈[-1，1]时恒有f(x2?2ax+2)≤
1
4 ，求实数x的取值范围．

（1）证法一：f（0）?f（x）=f（x），
即f（x）[f（0）-1]=0，
又f（x）≠0，
∴f（0）=1
当x＜0时，f（x）＞1，
则-x＞0，
∴f（x）?f（-x）=f（0）=1，
则f(?x)＝
1
f(x) ∈(0，1)．
故对于x∈R恒有f（x）＞0．
证法二：f(x)＝f(
x
2 +
x
2 )＝[f(
x
2 )]2≥0，
∵f（x）为非零函数，
∴f（x）＞0
（2）令x1＞x2且x1，x2∈R，
有f（x1）?f（x2-x1）=f（x2），
又x2-x1＜0，
即f（x2-x1）＞1
故
f(x2)
f(x1) ＝f(x2?x1)＞1，
又f（x）＞0，
∴f（x2）＞f（x1）
故f（x）为R上的减函数．
（3）f(4)＝
1
16 ＝f(2+2)＝f2(2)?故f(2)＝
1
4 ，
则原不等式可变形为f（x2-2ax+2）≤f（2）
依题意有  x2-2ax≥0对a∈[-1，1]恒成立，
∴







x2?2x≥0
x2+2x≥0 ?x≥2或x≤-2或x=0
故实数x的取值范围为（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

1. 令y=0 f(x+y)=f(x)=f(x)·f(0) [f(0)-1]·f(x)=0 x<0时，f(x)>1 f(x)≠0，要等式成立，只有 f(0)=1 /那个热心网友的回答一开始就错了，f(0)=1，而不是f(0)=0 令y=-x f(x+y)=f(x)·f(-x)=f(0)=1>0 x<0时，-x>0 f(x)>1>0，又f(x)·f(-x)>0，要不等式成立，只有f(-x)>0，即x>0时，f(x)>0 综上，得f(x)>0 2. 令y=△x △x>0 f(x-△x)=f(x)·f(-△x) △x>0 -△x<0 f(-△x)>1，又f(x)>0，因此f(x)·f(-△x)>f(x) f(x-△x)>f(x)，函数是单调递减函数。 3. f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=[f(2)]²=1/16 f(x)>0 f(2)>0 f(2)=1/4 f(x-3)·f(5)≤1/4 f(x-3+5)≤f(2) f(x+2)≤f(2) 函数是减函数，x+2≥2 x≥0