有关泛函分析，范数

有关泛函分析，范数

最后一步就是积分形式的柯西不等式
下证：

倒推回去即可

追问
能解释一下吗
追答证明有错，放的太大了
需要证明
[积分(ab+cd)]^2<=(积分a^2+积分c^2)(积分b^2+积分d^2)
这就是2维的柯西施瓦茨不等式

就把你的柯西施瓦茨不等式选择
f=
g=
取二维的二范数即可追问是说你最后一幅图是错的吗？f=？这个是什么意思？还有取二维的二范数什么意思？能详细证明一下吗，谢谢你追答嗯，第二幅图不对
因为柯西施瓦茨不等式直接对二维向量函数使用即可
(积分ab)^2<=(积分a^2)(积分b^2)
令a=(f,f')是二维向量函数
b=(g,g')也是二维向量函数
ab就会变为内积
即
fg+f'g'
a^2=a点乘a=f^2+f'^2
b^2=g^2+g'^2
带入即得追问二维函数？貌似没接触过，神马地方会涉及到，或者说哪门课会涉及到？追答二维函数的话在数学分析3或者高数下就会碰到。
泛函后面肯定有的。

开区间(a,b)上的一次可微函数全体。
线性性
>=0
容易验证。
你是不是卡在|f+g|<=|f|+|g|上了？

[积分(f+g)^2+积分(f'+g')^2]^(1/2)<=[积分(g)^2+积分(g')^2]^(1/2)+[积分(f)^2+积分(f')^2]^(1/2)
等价于
[积分(f+g)^2+积分(f'+g')^2]<=[积分(g)^2+积分(g')^2]+[积分(f)^2+积分(f')^2]+2*[积分(g)^2+积分(g')^2]^(1/2)*[积分(f)^2+积分(f')^2]^(1/2)
等价于
[积分fg+积分f'g']<=[积分(g)^2+积分(g')^2]^(1/2)*[积分(f)^2+积分(f')^2]^(1/2)
等价于
[积分fg+积分f'g']^2<=[积分(g)^2+积分(g')^2][积分(f)^2+积分(f')^2]
这是Cauchy不等式，只不过是积分形式而已。你如果把积分号改成求和，那么就是cauchy不等式。如果你知道这个是对的，我就不证了，如果你不知道，那你可以把积分(面积)给拆成一些小长方形，然后就变成离散的Cauchy不等式了。然后你让切的块数取向无穷，矩形们的面积和自然就变成积分了。就这么证明。追问

您最后一步能再说细一点吗，就是积分号改成求和，就像柯西不等式的积分形式，如何推成求和形式？我比较愚钝，不太理解。而且柯西不等式的积分形式不是

和所要求证的式子还是有一些区别

追答cauchy不等式
(ax+by+....+cz)^2<=(a^2+b^2+...+c^2)(x^2+y+2+...+z^2)
为了不写b-a，不然打字太多，你就假设区间为(0,1)就好。

积分fg是什么？
fg虽然是乘积，但是说白了还是个函数，你设h＝fg就行
积分h的定义是？
就是区间分成n小份，每份长度1/n。
然后小份端点的值h(1/n),h(2/n),h(3/n),...,h(n-1/n)
这些点值加起来，然后除以n即可。如果你除n-1也行，反正最后n－>无穷，无关痛痒。
积分h=(1/n)[h(1/n)+h(2/n)+h(3/n)+...+h(n-1/n)]
h(x)在每点的值就是g(x)f(x)
所以
积分gf=(1/n)[h(1/n)+h(2/n)+h(3/n)+...+h(n-1/n)]
=(1/n)[g(1/n)f(1/n)+g(2/n)f(2/n)+g(3/n)f(3/n)+...+g(n-1/n)f(n-1/n)]

那么其他的都一样，同理
积分f'g'=(1/n)[g‘(1/n)f’(1/n)+g‘(2/n)f’(2/n)+g‘(3/n)f’(3/n)+...+g‘(n-1/n)f’(n-1/n)]

积分(g)^2＝(1/n)[g(1/n)g(1/n)+g(2/n)g(2/n)+g(3/n)g(3/n)+...+g(n-1/n)g(n-1/n)]
积分(f)^2＝。。。
积分(g')^2＝。。。
积分(f')^2＝。。。
因为离散的cauchy不等式对于任意有限个变量都是对的。
所以对任何n
你把上面的东西带入[积分fg+积分f'g']^2<=[积分(g)^2+积分(g')^2][积分(f)^2+积分(f')^2]

不等号两边同时乘以n^4就是cauchy不等式。