证明 (a+b+c)/3大于等于三倍根号abc
答案:2 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-03-09 11:14
- 提问者网友：寂寞撕碎了回忆
- 2021-03-09 04:41
如题
a,b,c属于R+
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒醒三更
- 2021-03-09 05:54
x,y,z是非负数时
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2≥0
所以,
x^3+y^3+z^3≥3xyz
设x^3=a,y^3=b,z^3=c
则:储辅臂恍赚喝辫桶播垃(a+b+c)/3≥三次根号(abc)
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2≥0
所以,
x^3+y^3+z^3≥3xyz
设x^3=a,y^3=b,z^3=c
则:储辅臂恍赚喝辫桶播垃(a+b+c)/3≥三次根号(abc)
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- 1楼网友：蓝房子
- 2021-03-09 06:25
证明：对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc成立，等号当且仅当a=b=c时成立；
因为：
a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
=1/2×(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)
=1/2×(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
可以看出，上式的结果是个非负数，所以a³+b³+c³≥3abc成立；
利用这一结果可得：
a+b+c≥3倍三次根号(abc)
即：：(a+b+c)/3≥三次根号(abc)
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