求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=3/2

条件是a+b+c=3

利用调和平均小于等于算术平均:  3/(1/x+1/y+1/z)<=(x+y+z)/3

在上述公式中取x=a+b  y=b+c  z=c+a

则3/(1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a))<=(a+b+b+c+c+a)/3

即3/(1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a))<=6/3

即3/(1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a))<=6/3

即1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a)>=3/2

因为[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)][(a+b)+(b+c)+(a+c)]<=3的平方 又因为a+b+c=3 所以得证

先通分！然后你就看到特点！

由a+b+c=3

则1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=3/2

化为1/(3-c)+1/(3-a)+1/(3-b)≤3/2

下面证明1/（3-x)≤-1/4x+3/4①

很简单，同乘以分母并移向项得

1/4（c-3)²≥0显然成立

故①得证

从而1/(3-c)≤-1/4c+3/4

1/(3-a)≤-1/4a+3/4

1/(3-b)≤-1/4b+3/4

三式相加得

1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=-1/4（a+b+c)+9/4=-3/4+9/4=3/2

命题得证