高等数学和初等数学的主要区别是什么？各分别包含哪些内容？
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- 提问者网友：人傍凄凉立暮秋
- 2021-04-12 15:49
高等数学和初等数学的主要区别是什么？各分别包含哪些内容？
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- 五星知识达人网友：慢性怪人
- 2021-04-12 16:13
大致说来，数学可分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学主要包括两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含：
解析几何：用代数方法研究几何问题；
线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题；
高等代数：研究方程式的求根问题；
微积分：研究变速运动及曲边形的求面积问题；作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授微分方程与偏微分方程；
概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理；
所有这些学科构成高等数学的基本部分，在此基础上，建立了高等数学的宏伟大厦。
我们这门课程要讲的就是高等数学的重要分支——微积分。
微积分是17世纪后期出现的一个崭新的数学学科，它在数学中占据着主导地位，是高等数学的基础。它包括微分学和积分学两大部分。
微积分学的诞生标志着高等数学的开始，这是数学发展史上的一次伟大转折. 高等数学的研究对象、研究方法都与初等数学表现出重大差异. 初等数学应当为高等数学做哪些准备？
（1） 发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变. 符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力；
（2） 培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变；
（3） 培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变；
（4） 发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变.
微积分研究的对象是变量，它的基础是实数，因此我们这一讲要回顾一下初等数学知识中与实数密切相关的几个概念。
教学内容
1． 1． 第一次数学危机
2. 实数、数轴与绝对值
3. 区间与邻域
教学要求
1． 1． 了解第一次数学危机
2. 理解实数、数轴、绝对值的概念
3. 理解区间、邻域的概念
1．第一次数学危机
人们对数的认识来源于自然数。自然数是数东西时“实物个数”的表示，从1开始，依次为1，2，3，4，…， ，…，其中 表示任意一个自然数。之后记帐中，为了表示收入和支出，引入正数和负数；在表明商品价格、测量物体长度和重量时，又引入小数或分数。
显然，社会生产发展的需要推动了数学的发展，但是这些推动是通过数学自身矛盾的发展而实现的。人们注意到，在对自然数进行加法和乘法的运算时，得到的结果仍然是自然数，例如3和7相加及相乘的结果为10和21，它们仍然是自然数，这说明，加法和乘法在自然数几何中是畅行无阻的，我们称之为自然数集对加法和乘法是封闭的。但是，两个自然数的差就不一定是自然数了，例如，3减7就不再是自然数了。为了使运算永远可能，扩充自然数集：每个自然数与负号“－”结合在一起，产生一个负整数，再补充一个新符号“0”，这样，我们就得到一个整数的集合：
…、－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，…
在整数集合中，加法、减法与乘法的运算也畅行无阻，因而整数集合对加法、减法和乘法是封闭的。但是两个整数相除就可能不再是整数，这就引出了有理数的概念。
所有形如 的数的集合称为有理数，其中 都是整数，且 。有理数集中含有全体整数与通常的分数。每个有理数有无穷多个表示方法。在全体有理数的集合中，加、减、乘、除都可以畅行无阻（当然，0不能作除数），因而有理数对四则运算是封闭的。
有理数很重要，是人们实际中使用的数，是测量长度、面积、体积、温度等各种量的工具。当把测量的刻度逐渐加细时，有理点密密麻麻到处都有，这是一个基本事实，称之为有理数的稠密性。所谓有理数的稠密性，是指在任何两个不等的有理数之间总能找到介于这两个有理数之间的有理数。
在古代的数学家看来，与有理数对应的点充满了数轴，即使是现在，尚未了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在当时人们的心理上引起了极大的震惊，这个发现是早期希腊认得重大成就之一。它在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点对应（如图）：
距离 的长度，它等于边长为1 的正方向的对角线长。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应任何有理数。因此必须发明一些新的数，使之与这样的点对应；因为这些点不能是有理数，所以把它们称为无理数。
根据勾股定理，边长为1的正方形的对角线其长度为 ，为了证明点 不能由一个有理数表示，只须证明 是无理数即可，即 不能表示成为两个正数之比的形式。这个结论用反证法可以得证。在推理过程中，使用了“2是素数”的性质。同样的推理可以证明任何素数的平方根都是无理数。如 等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定的任何两个线段，必定能找到第三根线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。现在我们取一个正方形，设它的边长为 ，对角线长为 ，并知道 ＝ 。取定这两个线段；如果存在第三个线段 ，使得 和 都包含 的整数倍，我们就有 = ， = ，这里 是整数。由 ＝ 得 ＝ ，从而 ，即 ，这是一个有理数，显然这与 是无理数矛盾，这说明存在不可公度的线段，即不具有公度量的线段。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派的内部引起了极大的震动。首先，这时对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于正数”的致命一击：既然像 这样的无理数不能写成两个正数之比，那么它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直观上总是认为任何两个线段都是可公度的，而毕达哥拉斯学派的比例和相似的全部理论都是建立在这一假设之上的，突然之间基础坍塌了，已经确立的几何学的大部分内部内容必需抛弃，因为他们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。
这个“逻辑上的丑闻”是数学基础的第一次危机，既不容易，也不能很快地被消除。大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家欧多克索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一“丑闻”。他们给出的定义与所设计的量是否可公度无关。启示这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。
2．实数、数轴与绝对值
实数
实数由有理数和无理数组成。有理数是指能表为两个整数相除形式的数，包括整数、分数、有限小数、无限循环小数，如2001， ， ，0.313 313 …，等等 ；无理数是指无限不循环小数，即不能表为两个整数相除形式的数，如 ， ， ， ，等等。
实数按照以下方法分类，形成实数系表：
实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其中，加法与减法、乘法与除法、乘方与开方互为逆运算。下面列出这些运算的一些规则：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
数轴
在几何上，可以用数轴上的点来表示实数。
数轴是一条直线，它的两端可以无限延长，如图。
在此直线上选定一个原点 ，再选定一个长度单位，在该直线的一方画一个箭头表示正向，而另一方为负向。习惯上，如果该直线是水平的，则选右方向为正向，如果该直线是垂直的，则选上方向为正向。任意给定一个实数 ，按照下列规则在数轴上定出一个表示 的点，该点在直线的正方向还是负方向取决于数 是正数还是负数，该点到原点的距离等于 的绝对值 。这样，就可以建立起实数的全体和数轴之间的一一对应关系。换句话说，任意给定一个实数，总可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应，反之，在数轴上的每一个点也必定唯一地对应与一个实数，基于这种一一对应关系，可以把一个实数 和数轴上与之对应的点 不加区别地看待。
绝对值
我们知道，对于实数 ，如果它是正的，则其绝对值 ＝ ，如果它是负的，则其绝对值 ＝－ ，如果 ＝0，则 。若用式子表示，即为
在数轴上， 表示点 到原点的距离。显然， 表示点 到点 之间的距离。
绝对值有下列性质：
（1） ，且 等价于 ＝0
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
假设 ，一般地有
，
或 。
3．区间与邻域
区间
设 是两个实数，且 ，满足不等式
的一切实数 的全体称为开区间，记作 。满足不等式
的一切实数 的全体称为闭区间，记作 。
其中 称为区间的端点。在几何上， 和 都表示数轴上点 和点 之间的线段，开区间 不包含端点 和 ，闭区间 包含端点 和 。类似地，对于满足不等式
或
的一切实数 的全体称为半开区间，分别记作 或 。
当 时， 称为上述四个区间的长度。
为了讨论方便，引入记号“＋ ”（读作“正无穷大”）和“－ ”（读作“负无穷大”），并规定：
（－ ，＋ ）表示全体实数，或记为－ <x<＋ ；
（－ , ）表示满足不等式 的一切实数 的全体，或记为 ；
( ，+ ）表示满足不等式 的一切实数 的全体，或记为 ；
即 。
邻域
设 和 是两个实数，且 ，满足不等式
的一切实数 的全体称为点 的 邻域。点 称为这邻域的中心、 称为这邻域的半径，
由于
即 ，因此点 的 邻域就是开区间 。
在以后讨论极限和导数概念时，经常要用到去心邻域的概念，去心邻域是指满足不等式
且
的一切实数 的全体。
思考题：
简述消除第一次数学危机解决了什么问题？
数学家——毕达哥拉斯
毕达哥拉斯（Pythagoras约公元前580～约前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家。生于萨摩斯（今希腊东部小岛），卒于他林敦（今意大利南部塔兰托）。早年曾游历埃及、巴比伦等地。为了摆脱暴政，他移居意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托，后终于被杀害。
毕达哥拉斯学派有一种习惯，就是将一切发明都归于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本源，研究数学的目的并不在于实用而是为了探索自然的奥秘。毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。这定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯学派。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来，如把算术中的单位看作“没有位置的点”，而把几何的点看作“有位置的单位”。他们发现用三个正数表示直角三角形边长的一种公式： 分别是二直角边，则斜边是 。这公式属于算术，又属于几何。他们将自然数分为若干类：奇数，偶数，完全数，亲和数；三角数（1，3，6，10，…)，平方数(1，4，9，16，…)，五角数（1，5，12，22，…)，等等；又注意的从1 起连续的奇数和必为平方和数。后面这几类数都和几何有关。
通过勾股定理，导致不可通约量的发现，是这个学派的重大贡献。他们还发现五种正多面体。最初用正四面体、正六面体、正八面体和正二十四面体来表示火、土、气、水四大元素，后来又发现正十二面体，没有相应的第五种元素，于是就用来代表宇宙全体。毕达哥拉斯还是音乐理论的鼻祖，它阐述了单弦的乐音与现场的关系。在天文方面，首创地圆说，认为日月五星都是球体，浮悬在太空中。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久。它的思想和学说，对希腊文化有巨大的影响。
初等数学主要包括两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含：
解析几何：用代数方法研究几何问题；
线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题；
高等代数：研究方程式的求根问题；
微积分：研究变速运动及曲边形的求面积问题；作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授微分方程与偏微分方程；
概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理；
所有这些学科构成高等数学的基本部分，在此基础上，建立了高等数学的宏伟大厦。
我们这门课程要讲的就是高等数学的重要分支——微积分。
微积分是17世纪后期出现的一个崭新的数学学科，它在数学中占据着主导地位，是高等数学的基础。它包括微分学和积分学两大部分。
微积分学的诞生标志着高等数学的开始，这是数学发展史上的一次伟大转折. 高等数学的研究对象、研究方法都与初等数学表现出重大差异. 初等数学应当为高等数学做哪些准备？
（1） 发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变. 符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力；
（2） 培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变；
（3） 培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变；
（4） 发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变.
微积分研究的对象是变量，它的基础是实数，因此我们这一讲要回顾一下初等数学知识中与实数密切相关的几个概念。
教学内容
1． 1． 第一次数学危机
2. 实数、数轴与绝对值
3. 区间与邻域
教学要求
1． 1． 了解第一次数学危机
2. 理解实数、数轴、绝对值的概念
3. 理解区间、邻域的概念
1．第一次数学危机
人们对数的认识来源于自然数。自然数是数东西时“实物个数”的表示，从1开始，依次为1，2，3，4，…， ，…，其中 表示任意一个自然数。之后记帐中，为了表示收入和支出，引入正数和负数；在表明商品价格、测量物体长度和重量时，又引入小数或分数。
显然，社会生产发展的需要推动了数学的发展，但是这些推动是通过数学自身矛盾的发展而实现的。人们注意到，在对自然数进行加法和乘法的运算时，得到的结果仍然是自然数，例如3和7相加及相乘的结果为10和21，它们仍然是自然数，这说明，加法和乘法在自然数几何中是畅行无阻的，我们称之为自然数集对加法和乘法是封闭的。但是，两个自然数的差就不一定是自然数了，例如，3减7就不再是自然数了。为了使运算永远可能，扩充自然数集：每个自然数与负号“－”结合在一起，产生一个负整数，再补充一个新符号“0”，这样，我们就得到一个整数的集合：
…、－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，…
在整数集合中，加法、减法与乘法的运算也畅行无阻，因而整数集合对加法、减法和乘法是封闭的。但是两个整数相除就可能不再是整数，这就引出了有理数的概念。
所有形如 的数的集合称为有理数，其中 都是整数，且 。有理数集中含有全体整数与通常的分数。每个有理数有无穷多个表示方法。在全体有理数的集合中，加、减、乘、除都可以畅行无阻（当然，0不能作除数），因而有理数对四则运算是封闭的。
有理数很重要，是人们实际中使用的数，是测量长度、面积、体积、温度等各种量的工具。当把测量的刻度逐渐加细时，有理点密密麻麻到处都有，这是一个基本事实，称之为有理数的稠密性。所谓有理数的稠密性，是指在任何两个不等的有理数之间总能找到介于这两个有理数之间的有理数。
在古代的数学家看来，与有理数对应的点充满了数轴，即使是现在，尚未了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在当时人们的心理上引起了极大的震惊，这个发现是早期希腊认得重大成就之一。它在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点对应（如图）：
距离 的长度，它等于边长为1 的正方向的对角线长。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应任何有理数。因此必须发明一些新的数，使之与这样的点对应；因为这些点不能是有理数，所以把它们称为无理数。
根据勾股定理，边长为1的正方形的对角线其长度为 ，为了证明点 不能由一个有理数表示，只须证明 是无理数即可，即 不能表示成为两个正数之比的形式。这个结论用反证法可以得证。在推理过程中，使用了“2是素数”的性质。同样的推理可以证明任何素数的平方根都是无理数。如 等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定的任何两个线段，必定能找到第三根线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。现在我们取一个正方形，设它的边长为 ，对角线长为 ，并知道 ＝ 。取定这两个线段；如果存在第三个线段 ，使得 和 都包含 的整数倍，我们就有 = ， = ，这里 是整数。由 ＝ 得 ＝ ，从而 ，即 ，这是一个有理数，显然这与 是无理数矛盾，这说明存在不可公度的线段，即不具有公度量的线段。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派的内部引起了极大的震动。首先，这时对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于正数”的致命一击：既然像 这样的无理数不能写成两个正数之比，那么它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直观上总是认为任何两个线段都是可公度的，而毕达哥拉斯学派的比例和相似的全部理论都是建立在这一假设之上的，突然之间基础坍塌了，已经确立的几何学的大部分内部内容必需抛弃，因为他们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。
这个“逻辑上的丑闻”是数学基础的第一次危机，既不容易，也不能很快地被消除。大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家欧多克索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一“丑闻”。他们给出的定义与所设计的量是否可公度无关。启示这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。
2．实数、数轴与绝对值
实数
实数由有理数和无理数组成。有理数是指能表为两个整数相除形式的数，包括整数、分数、有限小数、无限循环小数，如2001， ， ，0.313 313 …，等等 ；无理数是指无限不循环小数，即不能表为两个整数相除形式的数，如 ， ， ， ，等等。
实数按照以下方法分类，形成实数系表：
实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其中，加法与减法、乘法与除法、乘方与开方互为逆运算。下面列出这些运算的一些规则：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
数轴
在几何上，可以用数轴上的点来表示实数。
数轴是一条直线，它的两端可以无限延长，如图。
在此直线上选定一个原点 ，再选定一个长度单位，在该直线的一方画一个箭头表示正向，而另一方为负向。习惯上，如果该直线是水平的，则选右方向为正向，如果该直线是垂直的，则选上方向为正向。任意给定一个实数 ，按照下列规则在数轴上定出一个表示 的点，该点在直线的正方向还是负方向取决于数 是正数还是负数，该点到原点的距离等于 的绝对值 。这样，就可以建立起实数的全体和数轴之间的一一对应关系。换句话说，任意给定一个实数，总可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应，反之，在数轴上的每一个点也必定唯一地对应与一个实数，基于这种一一对应关系，可以把一个实数 和数轴上与之对应的点 不加区别地看待。
绝对值
我们知道，对于实数 ，如果它是正的，则其绝对值 ＝ ，如果它是负的，则其绝对值 ＝－ ，如果 ＝0，则 。若用式子表示，即为
在数轴上， 表示点 到原点的距离。显然， 表示点 到点 之间的距离。
绝对值有下列性质：
（1） ，且 等价于 ＝0
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
假设 ，一般地有
，
或 。
3．区间与邻域
区间
设 是两个实数，且 ，满足不等式
的一切实数 的全体称为开区间，记作 。满足不等式
的一切实数 的全体称为闭区间，记作 。
其中 称为区间的端点。在几何上， 和 都表示数轴上点 和点 之间的线段，开区间 不包含端点 和 ，闭区间 包含端点 和 。类似地，对于满足不等式
或
的一切实数 的全体称为半开区间，分别记作 或 。
当 时， 称为上述四个区间的长度。
为了讨论方便，引入记号“＋ ”（读作“正无穷大”）和“－ ”（读作“负无穷大”），并规定：
（－ ，＋ ）表示全体实数，或记为－ <x<＋ ；
（－ , ）表示满足不等式 的一切实数 的全体，或记为 ；
( ，+ ）表示满足不等式 的一切实数 的全体，或记为 ；
即 。
邻域
设 和 是两个实数，且 ，满足不等式
的一切实数 的全体称为点 的 邻域。点 称为这邻域的中心、 称为这邻域的半径，
由于
即 ，因此点 的 邻域就是开区间 。
在以后讨论极限和导数概念时，经常要用到去心邻域的概念，去心邻域是指满足不等式
且
的一切实数 的全体。
思考题：
简述消除第一次数学危机解决了什么问题？
数学家——毕达哥拉斯
毕达哥拉斯（Pythagoras约公元前580～约前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家。生于萨摩斯（今希腊东部小岛），卒于他林敦（今意大利南部塔兰托）。早年曾游历埃及、巴比伦等地。为了摆脱暴政，他移居意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托，后终于被杀害。
毕达哥拉斯学派有一种习惯，就是将一切发明都归于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本源，研究数学的目的并不在于实用而是为了探索自然的奥秘。毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。这定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯学派。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来，如把算术中的单位看作“没有位置的点”，而把几何的点看作“有位置的单位”。他们发现用三个正数表示直角三角形边长的一种公式： 分别是二直角边，则斜边是 。这公式属于算术，又属于几何。他们将自然数分为若干类：奇数，偶数，完全数，亲和数；三角数（1，3，6，10，…)，平方数(1，4，9，16，…)，五角数（1，5，12，22，…)，等等；又注意的从1 起连续的奇数和必为平方和数。后面这几类数都和几何有关。
通过勾股定理，导致不可通约量的发现，是这个学派的重大贡献。他们还发现五种正多面体。最初用正四面体、正六面体、正八面体和正二十四面体来表示火、土、气、水四大元素，后来又发现正十二面体，没有相应的第五种元素，于是就用来代表宇宙全体。毕达哥拉斯还是音乐理论的鼻祖，它阐述了单弦的乐音与现场的关系。在天文方面，首创地圆说，认为日月五星都是球体，浮悬在太空中。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久。它的思想和学说，对希腊文化有巨大的影响。
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