法向量的定义及应用（有例题及解答）

解决几何体中的问题，例如求线与面的夹角大小

概念　　从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。
　　如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。



应用范围　　法向量的主要应用如下：
　　1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角与为锐角时与线面夹角互余,当这个角是钝角时线面夹角等于这个角减去90度。利用这个原理也可以证明线面平行；

　　2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；
　　3、点到面的距离：
任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离
　　法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。
　　平面法向量的求法：
　　（一般用待定系数法）
　　步骤：1、建立恰当的直角坐标系
　　2、设平面法向量n=（x，y，z）
　　3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）
b=（b1，b2，b3）
　　4、根据法向量的定义建立方程组①n*a=0
②n*b=0
　　5、解方程组，取其中一组即可。