2.已知x,y都是正数,求证(1)y/x+x/y≥2.(2)(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3.
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解决时间 2021-11-20 13:23
- 提问者网友：暗中人
- 2021-11-19 23:16
2.已知x,y都是正数,求证(1)y/x+x/y≥2.(2)(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3.
最佳答案
- 五星知识达人网友：独行浪子会拥风
- 2021-11-20 00:10
已知x,y都是正数,求证(1)y/x+x/y≥2.
∵(x-y)^2≥0
∴x^2+y^2-2xy≥0
y^2+x^2≥2xy
∵x,y都是正数,上不等式两边除xy，得
y/x+x/y≥2
故如果x,y都是正数，则：
y/x+x/y≥2
(2)(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3.
首先(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(x+y)^2(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2）
因为x,y都是正数
有(x+y)^2≥4xy
(x^2+y^2)≥2xy
(x^2-xy+y^2)≥xy
三式子相乘
即（x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3
∵(x-y)^2≥0
∴x^2+y^2-2xy≥0
y^2+x^2≥2xy
∵x,y都是正数,上不等式两边除xy，得
y/x+x/y≥2
故如果x,y都是正数，则：
y/x+x/y≥2
(2)(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3.
首先(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(x+y)^2(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2）
因为x,y都是正数
有(x+y)^2≥4xy
(x^2+y^2)≥2xy
(x^2-xy+y^2)≥xy
三式子相乘
即（x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3
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