求方程y"+2y'+2y=xe^-x满足初始条件x=0时y=0,y'=0的特解

求方程y"+2y'+2y=xe^-x满足初始条件x=0时y=0,y'=0的特解

∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0,则r=±i （复数根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的特解是y=(Ax+B)e^x
∵y'=Ae^x+y
y''=Ae^x+y'=2Ae^x+y
代入原微分方程得2Ae^x+y+y=xe^x
==>2Ae^x+2(Ax+B)e^x=xe^x
==>2Axe^x+(2A+2B)e^x=xe^x
==>2A=1,2A+2B=0 (比较同次幂的系数)
==>A=1/2,B=-1/2
∴原微分方程的特解是y=(x-1)e^x/2
故原微分方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+(x-1)e^x/2 (C1,C2是积分常数)

解：∵齐次方程y"+y'-2y=0的特征方程是r^2+r-2=0，则r1=1，r2=-2 ∴此齐次方程的通解是y=c1e^x+c2e^(-2x) (c1,c2是常数) ∵设原方程的解为y=(ax^2+bx)e^x，代入原方程化简得 (6ax+2a+3b)e^x=xe^x ==>6a=1，2a+3b=0 ==>a=1/6，b=-1/9 ∴y=(x^2/6-x/9)e^x是原方程的一个特解 故原方程的通解是y=c1e^x+c2e^(-2x)+(x^2/6-x/9)e^x。