f(x)=loga(a^x-1) (a>0且a≠1)

f(x)=loga(a^x-1) (a>0且a≠1)

解方程f(2x)=f-1(x)

先求定义域 a^x-1>0 a^x>a^0
讨论 a>1时，定义域 x>0
此时原函数是y=logaU与U=a^x-1两函数的复合
前者是增函数，后者也是增函数（a>1）,单调性复合也是增函数
0<a<1时，定义域 x<0
前者是减函数，后者也是减函数（0<a<1）,单调性复合还是增函数
综合：a>1时，原函数在（0，+无穷大）是增函数
0<a<1时，原函数在（-无穷大，0）是增函数

f^-1(x)＝loga(a^x+1)
loga(a^2x-1)＝loga(a^x+1)
a^2x-1=a^x+1
a^2x-a^x-2=0
设t=a^x>0
t^2-t-2=0
(t-2)(t+1)=0
t=2=a^x
x=loga(2)

y=loga(a^x-1)

a^y=a^x-1

a^x=a^y+1

x=loga(a^x+1)

f-1(x)=loga(a^x+1)

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f(2x)=loga[a^(2x)-1]

f-1(x)=loga[a^x+1]

f(2x)=f-1(x)

则:a^(2x)-1>0且a^(2x)-1=a^x+1

解a^(2x)-1=a^x+1

(a^x)^2-a^x-2=0

(a^x-2)(a^x+1)=0

a^x=2

x=loga(2)

(1)0<a<1,(a^x)^2>1,x<0

loga(2)<0

(2)a>1,(a^x)^2>1,x>0

loga(2)>0

所以,方程f(2x)=f-1(x)的解是x=loga(2)