设函数f(x)=sin(1/x)*（x^n） (x不等于0时) f(x)=0(x=0时) 问当n满足什么条件时，f(x)在x=0处有连续的导函
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解决时间 2021-04-14 15:08
- 提问者网友：火车头
- 2021-04-13 16:32
设函数f(x)=sin(1/x)*（x^n） (x不等于0时) f(x)=0(x=0时) 问当n满足什么条件时，f(x)在x=0处有连续的导函
最佳答案
- 五星知识达人网友：神的生死簿
- 2021-04-13 16:57
当 n>0 时, 函数f(x)在x=0处连续,
lim(x->0) x^n * sin(1/x) = 0 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
当 n>1 时, 函数f(x)在x=0处可导, 且 f '(0) = 0
lim(x->0) [x^n * sin(1/x) - 0] / x = 0
当 x不等于0时，f '(x) = n x^(n-1) sin(1/x) + x^n * cos(1/x) * (-1/x²）
= x^(n-2) [ nx * sin(1/x) - cos(1/x)]
要使得 lim(x->0) f '(x) = 0, 必须且只需 n > 2
当 n>2 时, 函数f(x)在x=0处有连续的导函数。
lim(x->0) x^n * sin(1/x) = 0 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
当 n>1 时, 函数f(x)在x=0处可导, 且 f '(0) = 0
lim(x->0) [x^n * sin(1/x) - 0] / x = 0
当 x不等于0时，f '(x) = n x^(n-1) sin(1/x) + x^n * cos(1/x) * (-1/x²）
= x^(n-2) [ nx * sin(1/x) - cos(1/x)]
要使得 lim(x->0) f '(x) = 0, 必须且只需 n > 2
当 n>2 时, 函数f(x)在x=0处有连续的导函数。
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- 1楼网友：笑迎怀羞
- 2021-04-13 17:54
因为在x=0时,f(x)=1的意义是当x趋近于0时，f(x)=1
这个是取极限的意义
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