证x趋向于0时sinmx/sinnx的极限

证x趋向于0时sinmx/sinnx的极限

解：lim(x->0)[sin(mx)/sin(nx)]

=lim(x->0)[(m/n)*(sin(mx)/(mx))*((nx)/sin(nx))]

=(m/n)*{lim(x->0)[sin(mx)/(mx)]}*{lim(x->0)[(nx)/sin(nx)]}

=(m/n)*1*1  (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)

=m/n。
极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy/Δx的极限f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。

解：lim(x->0)[sin(mx)/sin(nx)]
=lim(x->0)[(m/n)*(sin(mx)/(mx))*((nx)/sin(nx))]
=(m/n)*{lim(x->0)[sin(mx)/(mx)]}*{lim(x->0)[(nx)/sin(nx)]}
=(m/n)*1*1 (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=m/n。