已知sinα+cosα=2/3,α属于(0,π),求tanα及sin^3α+cos^3α

已知sinα+cosα=2/3,α属于(0,π),求tanα及sin^3α+cos^3α

sinα+cosα=2/3
(sinα+cosα)^2=4/9
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=4/9
1+2sinαcosα=4/9
2sinαcosα=-5/9
sinαcosα=-5/18
sin2α=-5/9
α属于(0,π)
α属于(π/2,π)
tanα<0

sin2α=2tanα/(1+tan^2α)
-5/9=2tanα/(1+tan^2α)
-18tanα=5(1+tan^2α)
5tan^2α+18tanα+5=0
tan^2α+18tanα/5+1=0
tan^2α+18tanα/5+81/25-81/25+1=0
(tanα+9/5)^2-56/25=0
(tanα+9/5-2√7/5)(tanα+9/5+2√7/5)=0
tanα=-9/5+2√7/5(舍去）或tanα=-9/5-2√7/5
所以tanα=-9/5-2√7/5

sin^3α+cos^3α
=(sinα+cosα)(sin^2α-sinαcosα+cos^2α)
=2/3*[1-(-5/18)]
=2/3*23/18
=23/27

第一题，除以1 因为sinα平方+cosα平方=1 所以 （sinαcosα ）/（sinα平方+cosα平方 ） 再同时除以cosα 平方 得tanα/（tanα平方+1）再把tanα=3代入得十分之三 ②(sinα+cosα)^2= ②sinα平方+cosα平方+2sinαcosα =1+2sinαcosα =1+2乘以十分之三=五分之八

sinα+cosα=2/3 ﹙1﹚两边平方得 1+2sinαcosα=4/9∴sinαcosα=-5/18 ﹙2﹚ 由﹙1﹚、﹙2﹚得 sinα=﹙1+√11﹚/6 cosα=﹙3-√11﹚/6 ∴tanα=sinα/cosα＝-7-2√11 sin³α+cos³α=﹙sinα+cosα﹚﹙sin²α-sinαcosα+cos²α﹚ =23/27