给定二次三项式f(x)=x²+ax+b已知方程f(f(x))=0有四个不同实根，且其中两个根的和等于-1

给定二次三项式f(x)=x²+ax+b已知方程f(f(x))=0有四个不同实根，且其中两个根的和等于-1

求证：

b≤-1/4

f(f(x))=0即为：(x^2+ax+b)^2+a(x^2+ax+b)+b=0。设t=x^2+ax+b，则有：

t^2+at+b=0，且此一元二次方程有两个不相等的实根。则有：a^2-4b>0，即：b<a^2/4。

同理：t=x^2+ax+b，即x^2+ax+b-t=0也有两个不相等的实根。

则有a^2-4(b-t)>0，即b-t<a^2/4。

在看函数f(x)=x^2+ax+b，而f(x)-t=x^2+ax+b-t，可知图像f(x)-t只是将图像f(x)向下移动t，而t有两个值，故移动得出来2个图像，这俩图像分别与x轴有2个不同交点，故一共有4个不同交点。但是由图像知：函数对称轴不会变，均为x=-a/2。

这个图只是示意图，最下面2个分别是f(x)-t1,f(x)-t2的示意图，其中t1<t2。他们一共与x轴相交4个点，这4个点就是f(f(x))=0的4个不同的实根。若要其中有2个根的和等于-1。

我们现在假设图像从左到右的根依次是x1，x2，x3，x4，则由图知：x1，x4在一个抛物线f(x)-t2上，x2，x3在一个抛物线f(x)-t1上。则x1+x4=-a，x2+x3=-a,即：x3=-a-x2,x4=-a-x1

则为了满足有2个根的和等于-1，则根的范围为x3+x4≥-1或x1+x2≤-1。只有4个根在这个范围内，才有可能存在两个根的和等于-1。

即-2a-(x1+x2)≥-1，x1+x2≤-1，则a=1。

而可知：t^2+at+b=0。则t1+t2=-1，t1*t2=b，即-(1+t1)t1=b,-(1+t2)t2=b

而x^2+ax+b-t=0，知：x1+x4=-1,x1*x4=b-t2<a^2/4, x2+x3=-1,x2*x3=b-t1<a^2/4.

则有：x1x4=b-t2=t2^2-2t2≥-1，同理x2x3≥-1.即-1≤x1x4<a^2/4,-1≤x2x3<a^2/4,其中a=1.

x1x4+x2x3=2b+1。

-2≤2b+1<1/2，则-3/2≤b<-1/4。

则当b=-1/4时，t=(-1±√2)/2

此时x^2+ax+b-t=0，当t=(-1-√2)/2时，即：x^2+x+1/4+√2/2=0，显然无解。则此时方程只有2个根。

所以答案是b≤-1/4的话，b=-1/4时，无法成立。

综上：-3/2≤b<-1/4。