证明数学归纳法

证明数学归纳法

第一数学归纳法
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
第二数学归纳法
对于某个与自然数有关的命题P(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
倒推归纳法
又名反向归纳法
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；
螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

证明：1当n=1时 ... 假设与结论不矛盾 2当n=k（k≥n0，k为自然数） 假设与结论不矛盾 综上得出结论：数学归纳法正确可行

可以用数学归纳法：n=1, a(1)=1；n=2, a(2)= 根号下2-1； 假设当n=k时，成立即a（n）=根号下n-根号下n-1（n≥2） 当n=k+1时，s(n+1)=1/2（a(n+1)+1/a(n+1)） s(n)=1/2（an+1/an）， 两式相减，得a(n+1)= 1/2（a(n+1)+1/a(n+1)）-1/2（an+1/an）=1/2（a(n+1)+1/a(n+1)）-1/2（根号下n-根号下n-1+（根号下n+根号下n-1））=1/2（a(n+1)+1/a(n+1)）-根号下n 化简得：a(n+1)²-2根号下n a(n+1)-1=0， 再配方得：（a(n+1)+ 根号下n）²=n+1 所以a(n+1)= 根号下(n+1)-根号下n 综上可得,原数列的通项公式为a（n）=根号下n-根号下n-1