设x1＞0,x(n+1)=1/2(xn+1/xn),证明xn的单调性
答案:1 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-04-07 03:36
- 提问者网友：鐵馬踏冰河
- 2021-04-06 11:30
设x1＞0,x(n+1)=1/2(xn+1/xn),证明xn的单调性
最佳答案
- 五星知识达人网友：天凉才是好个秋
- 2021-04-06 11:55
x1>0 很明显x2=(1/2)(x1+1/x1)≥1>0 ，依次递推可知xn≥1 (n≥2时）
x[n+1]-x[n]=(1/2)(x[n]+1/x[n])-x[n]=(1/2)(1/x[n]-x[n])=(1-x²[n]）/(2x[n])<0
所以x[n+1]单调下降且有下界
设limx[n]=A
那么有 A=(1/2)(A+1/A)
2A=A+1/A
A=1/A
A=1 （注意A=limx[n]≥1）
x[n+1]-x[n]=(1/2)(x[n]+1/x[n])-x[n]=(1/2)(1/x[n]-x[n])=(1-x²[n]）/(2x[n])<0
所以x[n+1]单调下降且有下界
设limx[n]=A
那么有 A=(1/2)(A+1/A)
2A=A+1/A
A=1/A
A=1 （注意A=limx[n]≥1）
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