设f(x)=-1\3x^3+1\2x^2+2ax,当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-3\16,求f(x)在该

设f(x)=-1\3x^3+1\2x^2+2ax,当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-3\16,求f(x)在该

这位学妹 你题目貌似给错了吧 最小值应该是-16/3（你确认下） 这样下来a=1 然后x=2时导数为0，即取得最大值10/3
如果是-3/16，我算得x=1/2+√（679/92）时取得最大值，但结果非常之丑，是你们不可以容忍的，所以我默认为-16/3给你解答
首先，求导，可得f(x)’=-x^2+x+2a=-(x-1/2)^2+2a+1/4(配方)
由a取（0,2），可知，导数在x=1时f(x)’>0，该函数开始是递增的，x=4时，f(x)’<0，可知函数又变为递减，因此可以断定，最大值产生在[1,4]中间某个数，最小值产生于f（1）、f（4）其中的一个（两端出现最小值），带入f(1)，你会发现f(1)=2a+1/6>0，而我们知道的最小值是-16/3<0，故最小值便是f（4），将x=4带入-1\3x^3+1\2x^2+2ax=-16/3，得a=1。
再回到导数f(x)’，在此由于函数连续可导，我们可以断定f(x)’=0的点即是最大值所对应的点，解方程可得x=2，将x=2带入原函数f(x)=-1\3x^3+1\2x^2+2ax=)=-1\3x^3+1\2x^2+2x=10/3
如果，最小值真的是-3\16，原理一样，x=1/2+√（679/92）带入函数 OK

f'(x)=-x^2+x+2a=-(x-1/2)^2+2a+1/4
当0所以f(x)在[1,4]上的最小值=min{f(1),f(4)}=min{2a-1/6,8a-40/3}=8a-40/3=-16/3，a=1
f(x)在该区间上的最大值=f(2)=10/3
（PS:我记得原题应该是最小值为-16/3）

f'(x)=-x^2+x+2a=-(x-1/2)^2+2a+1/4
当0所以f(x)在[1,4]上的最小值=min{f(1),f(4)}=min{2a-1/6,8a-40/3}=8a-40/3=-16/3，a=1
f(x)在该区间上的最大值=f(2)=10/3