∫∫∑(xz^2+1)dydz+(yx^2+2)dzdx+(zy^2+3)dxdy,其中,∑是锥面

∫∫∑(xz^2+1)dydz+(yx^2+2)dzdx+(zy^2+3)dxdy,其中,∑是锥面

答：- 59π/20

Σ为锥面z=√(x²+y²)，0≤z≤1，下侧还是上侧？？？
假设是取下侧，取 -
补面Σ1：z=1，取上侧
于是Σ+Σ1形式整个立体的外侧，取 +
其中Σ1的积分，z=1，注意dydz=dzdx=0
∫∫_(Σ1) (1*y²+3) dxdy，上侧取 +
= ∫∫_(D) (y²+3) dxdy，D为圆域x²+y²≤1
= ∫∫_(D) [(x²+y²)/2+3] dxdy，对称性
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,1) (r²/2+3)*r dr，极坐标化简
= (2π)(13/8)
= 13π/4
∫∫_(Σ+Σ1)，外侧取 +
= ∫_(Ω) (z²+x²+y²) dxdydz，高斯公式
= ∫_(Ω) (x²+y²+z²) dxdydz，Ω为圆锥立体√(x²+y²)≤z≤1
用球坐标化简，注意z=1 --> r cosφ=1 --> r=secφ为r的上限
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/4) sinφ dφ ∫(0,secφ) r²*r² dr
= (2π)∫(0,π/4) sinφ*(1/5)sec⁵φ dφ
= (2π/5)∫(0,π/4) 1/cos⁵φ d(-cosφ)
= (2π/5)(3/4)
= 3π/10
所以原积分
∫∫_(Σ) (xz²+1)dydz + (yx²+2)dzdx + (zy²+3)dxdy
= ∫∫_(Σ+Σ1) - ∫∫_(Σ1)
= (3π/10) - (13π/4)
= - 59π/20追问y^2+3为什么变成（x^2+y^2）/2+3追答∫∫ x² dxdy = ∫∫ y² dxdy追问这个x^2还是不明白哪里来的..不是只剩下y^2+3为什么还要x^2？懂了懂了3q