已知函数f（x）=ax?1ax+1（a＞1）

（1）f（x）的定义域为R，
f（-x）=
a?x?1
a?x+1＝
1?ax
1+ax＝?f(x)，
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=
ax?1
ax+1＝
ax+1?2
ax+1＝1?
2
ax+1．
∴a^x＞0，∴0＜
2
ax+1＜2，
∴-1＜1-
2
ax+1＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）
（3）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=
ax1?1
ax1+1?
ax2?1
ax2+1
=
(ax1?1)(ax2+1)?(ax1+1)(ax2?1)
(ax1+1)(ax2+1)＝
2(ax1?ax2)
(ax1+1)(ax2+1)
∵a＞1，x₁＜x₂，∴ax1＜ax2
又∵ax1+1＞0， ax2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

试题解析：

（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性．
（2）通过分离常数，根据指数函数的值域，求出f（x）的值域．
（3）利用函数单调性的定义，证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

名师点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值域；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数奇偶性的判断，函数的值域，函数单调性的判断与证明，考查计算能力，转化思想，是好题．