记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（

记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．（1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f-1（x）；（2）f(x)＝axx+b∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

（1）∵f(f(x))＝log2(1?2log2(1?2x))＝log2(1?1+2x)＝x
∴f（x）=log2（1-2x）∈M
设y=log2（1-2x）
由0＜1-2x＜1解得：x＜0，y＜0
由y=log2（1-2x）得2y=1-2x，反函数为y=loga（1-ax），（x＜0）
（2）∵f(x)＝
ax
x+b ∈M，
∴f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立．
a?
ax
x+b

ax
x+b +b ＝x，
解得：（a+b）x2-（a2-b2）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到
ax
x?a ?1＜0，
(a?1)x+a
x?a ＜0，由a＜0，
x?
a
1?a
x?a ＞00＞
a
1?a ＞a，
故x的范围为：x＞
a
1?a 或  x＜a

2）计算定义域的交集是否存在对于f(x)=log2(1-2^x)(2为底）  1-2^x>0 得2^x<1    x范围 x<0 f（f（x））=f2（x）=x则f(x)为f（x）反函数f(x)=log2(1-2^x)(2为底）的y的范围为  负无穷到正无穷  存在y<0 所以交集d:  x<0 存在