朗格朗日乘子法

看了老半天，没看懂书上关于这个的解释。有一系列的问题向大侠请教。书上以极小问题为例，这么说的：

min f(x,y),
s.t. g(x,y)=0

书上画了函数f(x,y)的等值线和g(x,y)的线；然后说明只有两线相切的点才可能是条件极值点，相交点是不可能的（问题：怎么理解？）。

对于相切的点处，g(x,y)和 f 的等值线有公共的切线（这个可以理解），

亦即有公共的法线（问题：和平面垂直的线不是法线吗？g(x,y)=0只是一条线，怎么会有法线？ 公共的法线是指两条法线平行吗，还是就是同样的一条线？），

所以 ∆ f（这里的三角都是反的，找不到反三角的符号） 与 ∆g必定是共线的（问题：梯度是对于多元函数求偏导才有的，g(x,y)不是多元函数，怎么求出两个偏导数和度？ 这里的∆ f和∆ g和法线是什么关系？），

既存在常数λ，成立 ∆ f = - λ ∆g （问题：这个怎么来的？）

本人没有看空间向量这一章，可能有些问题比较低级。

非常感谢！

第一个问题，考虑如果是相交而非相切，如果沿着g向某一个方向移动，就能找到一个f(x,y)的更高的等值线，意味着当前这个交点显然不是max f(x,y)

这里的法线，指的是在当前平明上关于这个切点垂直的向量。英文的教程中可能说的更清晰一点，一条直线只是一个一维的平面。

接下来的一个问题不要生硬的理解。就是他们的偏导。这个向量的延伸是法线。

这个常数来自于上面的这个发现，即他们的导数向量存在线性关系。

基本的拉格朗日乘子法，就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。具体方法就是令 f(x1,x2,...)=f(x1,x2,...)+λg(x1,x2...) 则求极值点的方程为： ∂f/∂xi=0（xi即为x1、x2……等自变量） g(x1,x2...)=0 以上内容在《数学手册》当中有。另外，可以将这种把约束条件乘以λ（即不定乘子）后加到待求函数上的求极值方法推广到变分极值问题及其它极值问题当中，理论力学当中对非完整约束的处理方法就是利用变分法当中的拉格朗日乘子法。