初中一道数学题

抛物线y=ax^2+bx+c与X轴正半轴交于A、B两点（开口向上），Q（2，k）是抛物线上一点，且AQ垂直于BQ，则ak的值为多少

详细解答过程

运用两根之和与两根之积的公式来解：

设A（X1,0) , B(X2,0) 则有X1+X2=﹣b／a, X1X2=c／a

X12－X22=﹙X1+X2﹚2－2X1X2=﹙b2－2ac﹚／a2

≒ ﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚=－b／a﹙x1－x2﹚

x1－x2≒﹙2ab－b2﹚／ab ＞0 ﹙a＞0,b＜0,c＞0﹚

根据AQ⊥BQ K﹙AQ﹚×K﹙BQ﹚≒﹣1 得|k|2≒﹙2－X1﹚﹙X2﹣2﹚≒﹣﹙2b＋c＋4a﹚／a

将Q点带入方程得 4a+2b+c=k

带入即得 ak=﹣1

这里可以用到一个技巧:使用特殊值法

令A（1.0）B（3.0）Q（2.-1），即K为-1

则AQ垂直于BQ

再算出a为1，所以ak的值为-1