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集合 本节重难点 本节的重点和难点都是集合元素特性的理解,掌握集合通常的两种表示方法． 重难点讲解 1．集合 点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集．一般用大括号表示集合,例如“汽车,飞机,轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成｛汽车、飞机、轮船｝为了方便．我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合,例如A＝｛a,b,c｝． 2．集合中的元素 集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆． 集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示． 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A； 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A． 3．集合中元素的特性 （1）确定性 对于集合A和某一对象x,有一个明确的判断标准是x∈A,还是x A,二者必成其一,不会模棱两可． 例如,“著名的数学家”,“漂亮的人”这类对象,一般不能构成数学意义上的集合,因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准． （2）互异性．对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的；因此,集合中的相同元素只能算作一个,如方程x 2 -2x+1=0的两个等根,x 1 ＝x 2 ＝1,用集合记为｛１｝,而不写为｛1,1｝,如果把集合｛１,２,３｝,｛2,3,4｝的元素合并起来构成一个新集合,那么新集合只有1,2,3,4这四个元素． （3）无序性 集合中的元素是不排序的,如集合｛1,2｝与｛2,1｝是同一个集合,但实际上在书写时还是按一定顺序书写的,如｛-1,0,1,2｝而不写成｛0,1,-1,2｝,这样写不方便,其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”． 4．集合表示法 （1）列举法 将集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内． （2）描述法 用描述表示的集合,对其元素的属性要准确理解．例如,集合｛y｜y=x 2 ｝表示函数y值的全体,即｛y｜y≥0｝；集合｛x｜y＝x 2 ｝表示自变量x的值的全体,即｛x｜x为任一实数｝；集合｛x,y｜y=x 2 ｝表示抛物线y=x 2 上的点的全体,是点集（一条抛物线）；而集合｛y=x 2 ｝则是用列举法表示的单元素集,也就是只有一个元素（方程y=x 2 ）的有限集． （3）图示法 为了形象地表示集合,我们常常画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合,例如,如图可表示集合｛1,2,3,4｝ 5．特定集合表示法 自然数集（或非负整数集）,记作N,自然数集内排除0的集,也称正整数集,记作N * 或N + （注意,自然数集包括0）； 整数集,记作Z； 有理数集,记作Q； 实数集,记作R； Z,Q,R等数集内排除0的集,分别表示为Z * （或Z + ）,Q * （或Q + ）,R * （或R + ）． 6．集合的分类 ①有限集：含有限个元素的集合叫做有限集．例如：A＝｛1,2,3,4｝ ②无限集：含有无限多个元素的集合叫做无限集．例如：集合N + ③空集：不含任何元素的集合称为空集．例如：集合方程x 2 +2x+3=0在实数范围内的解集．