一道高数的空间解析几何题 如图

一道高数的空间解析几何题 如图

令F(x,y,z)=x^2+y^2+z-4=0则曲面F(x,y,z)的切平面L方程为：F′x(x0,y0,z0)(x-x0)+F′y(x0,y0,z0)(y-y0)+F′z(x0,y0,z0)(z-z0)=0其中：P(x0,y0,z0)为切点,F′x、F′y、F′z分别为F(x,y,z)对x、y、z的偏导可得F′x=2x0 F′y=2y0 F′z=1又切平面L平行于平面π,所以2x0/2=2y0/2=1/1 x0=1 y0=1 z0=4-(x0)^2-(y0)^2=2 P(1,1,2)故切平面L：2(x-1)+2(y-1)+(z-2)=0 2x+2y+z-6=02)在平面π上取点Q(0,0,0)则向量PQ=(1,1,2)平面π的法向量为：向量n={2,2,1}则此曲面到平面π的最短距离S 为向量PQ到法向量n的投影的模S=向量PQ·COS＜PQ,n＞=(向量PQ·向量n)/(│向量n│)=(1×2+1×2+2×1)/√(2^2+2^2+1^2)=2所以最短距离是2 最长距离是∞

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