请教如何求微分方程dy/dx=(y^6-2x^2)/(2xy^5+x^2y^2)的通解？
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解决时间 2021-04-02 19:56
- 提问者网友：十年饮冰
- 2021-04-02 17:01
请教如何求微分方程dy/dx=(y^6-2x^2)/(2xy^5+x^2y^2)的通解？
最佳答案
- 五星知识达人网友：愁杀梦里人
- 2021-04-02 18:39
把原方程两边乘以y^2,得到d（y^3）/dx=3(y^6-2x^2)/【xy^3+x^2】
再把上式右部上下除以x^2得到d(y^3)/dx=3((y^3/x)^2-2)/【y^3/x+1】
令t=y^3/x,d(y^3)/dx=d(tx)/dx=xdt/dx+t
所以原方程变成xdt/dx+t=3(t^2-2)/(t+1)
化简得:xdt/dx=(2t+3)(t-2)/(t+1)
分离变量化简得：[1/(2t+3)+3/(t-2)]dt=(7/x)dx
两边积分得到C|x|^7=|t-2|^3*|2t+3|^0.5
把t=y^3/x带回去得到结果C|x|^7=|y^3/x-2|^3*|2y^3/x+3|^0.5 （C是常数）
再把上式右部上下除以x^2得到d(y^3)/dx=3((y^3/x)^2-2)/【y^3/x+1】
令t=y^3/x,d(y^3)/dx=d(tx)/dx=xdt/dx+t
所以原方程变成xdt/dx+t=3(t^2-2)/(t+1)
化简得:xdt/dx=(2t+3)(t-2)/(t+1)
分离变量化简得：[1/(2t+3)+3/(t-2)]dt=(7/x)dx
两边积分得到C|x|^7=|t-2|^3*|2t+3|^0.5
把t=y^3/x带回去得到结果C|x|^7=|y^3/x-2|^3*|2y^3/x+3|^0.5 （C是常数）
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