高中数学。难。数学博士来

已知函数f(x)=-4sin^2x+4cosx+1-a，若关于x的方程f(x)=0在区间[-π/4,2π/3]上有解，则a的取值范围是？

 

 答案为[-4,5]

老师讲的是把上述式子化简为f（x)= 4(cosx+1/2)-4-a  然后cosx的范围是 -1/2≤cosx≤1

 

把cosx=-1/2和1带入化简后的式子，整理后，要求的是-4-a≤0和5-a≥0。最后得到答案。。我不知道这是为什么。。

真会的可以用自己的方法解。

求数学博士来帮忙。这涉及到一种思想方法。对我很有帮助。求救

 

解f(x)=-4(1-cos²x)+cosx+1-a

=4cos²+4cosx-3-a

=4t²+4t-3-a, t∈[-1/2,1]-

    -----------------化归思想很重要,把三角函数化为二次函数

设u(x)=4t²+4t-3,  t ∈[-1/2,1],  v(x)=a

则f(x)=0等价于u(x)=v(x),等价于u(x),v(x)在t ∈[-1/2,1]上有公共点

    ----------化归思想很重要,把方程化为两个函数的交点

u(x)对称轴x=-1/2,在[-1/2,1]上是增函数,最小在左端点f(-1/2)=-4,最大在右端点f(1)=5

    ----------二次函数在闭区间增减性的固定模式说法

v(x)=a要与u(x)在[-1/2,1]上有交点,显然a要在-4与5之间,即-4≤a≤5,

    -----------画出草图,容易说明

解：设F（x）=4(cosx+1/2)²    y=a+4

f(x)=0有解的意思就转变成了，在直角坐标系中 F(X) 和y=a+4 有交点

因此就看F(X)的最大值和最小值与y=a+4的交点了，然后求得的就是a的范围了。

明白了吗？

解：由-4sin²x+4cosx+1-a=0→4cos²x+4cosx-3-a=0→cosx=[-1±√(4+a)]/2

    因为cosx在x∈[-π/4，2π/3]时， -1/2≤cosx≤1

    得：0≤4+a，√(4+a)≤3→ -4≤a≤5

首先我不是博士 其次老师正确 他意思是 把f(x)=0中的参数独立开 剩下的都与x相关对吧 然后在给定区间求出关于x那部分的最大最小值 既然有解 那么a必然在它们之间 不清楚再问 我豁出去陪你玩了

下面的解答方法应该能够理解，老师只是换了一下叙述方式而已

解：f(x)=-4sin²x+4cosx+1-a

=-4(1-cos²x)+4cosx+1-a

=4 cos²x+4cosx-3-a

=（2 cosx+1）²-4-a

如果f(x) =（2 cosx+1）²-4-a=0

则：a=（2 cosx+1）²-4

因为x∈[-π/4,2π/3]时，-1/2≤cosx≤1

故：0≤2 cosx+1≤3

故：0≤（2 cosx+1）²≤9

故：-4≤（2 cosx+1）²-4≤5

即：-4≤a≤5