a1+3a2+9a3+……3^（n-1）an,求数列的通项公式

a1+3a2+9a3+……3^（n-1）an,求数列的通项公式

a1+3a2+3^2a3+```````+3^(n-1)an=n/3
a1+3a2+3^2a3+```````+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3
两式相减得
3^(n-1)an=n/3-(n-1)/3
3^(n-1)an=n/3-n/3+1/3
3^(n-1)an=1/3
3^nan=1
an=1/3^n

bn=nan=n/3^n

sn=1/3^1+2/3^2+3/3^3+.........+n/3^n
sn/3=1/3^2+2/3^3+3/3^4+.........+(n-1)/3^n+n/3^(n+1)
sn-sn/3=1/3^1+1/3^2+1/3^3+.........+1/3^n-n/3^(n+1)
2sn/3=1/3*[1-(1/3)^n]/(1-1/3)-n/3^(n+1)
2sn/3=[1-(1/3)^n]/2-n/3^(n+1)
2sn/3=1/2-1/2*(1/3)^n-n/3^(n+1)
sn=3/4-3/4*(1/3)^n-3/2*n/3^(n+1)
sn=3/4-9/4*(1/3)^(n+1)-3/2*n/3^(n+1)
sn=3/4-(9/4+3/2*n)/3^(n+1)
sn=3/4-(9/4+3/2*n)/3^(n+1)
sn=3/4-3/4(3+2n)/3^(n+1)
sn=3/4-1/4(3+2n)/3^n

n=1时,a1=1/3n>1时,a1+3a2+...+3^(n-2)a(n-1)+3^(n-1)an=n/3① a1+3a2+...+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3②①-②得3^(n-1)an=n/3-(n-1)/3=1/3, ∴an=1/3×(1/3)^(n-1)=(1/3)^n,n=1时也符合∴an通项为an=(1/3)^n=1/3^n∴bn=n/an=n×3^nsn=1×3^1+2×3^2+3×3^3+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n③3sn=1×3^2+2×3^3+3×3^4+...+(n-1)×3^n+n×3^(n+1)④④-③得2sn=-1×3^1+(1-2)×3^2+(2-3)×3^3+...+[(n-1)-n]×3^m+n×3^(n+1) =-3^1-3^2+3^3-...-3^n+n×3^(n+1)=-[3+3^2+3^3+...+3^n]+n×3^(n+1) =-3×(3^n-1)/(3-1)+n×3^(n-1)=-[3^(n+1)-3]/2+n×3^(n+1) =[-3^(n+1)+3+2n×3^(n+1)]/2=[(2n-1)×3^(n+1)+3]/2∴sn=[(2n-1)×3^(n+1)+3]/4