已知f(x)＝log2(1+x4)?1+mx1+x2（x∈R）是偶函数．（Ⅰ）求实常数m的值，并给出函数f（x）的单调区间（不

已知f(x)＝log2(1+x4)?
1+mx
1+x2 （x∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求实常数m的值，并给出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（Ⅱ）k为实常数，解关于x的不等式：f（x+k）＞f（|3x+1|）．

（Ⅰ）由题意得：f(?1)＝1?
1?m
2 ，f(1)＝1?
1+m
2
函数为偶函数，所以f（-1）=f（1），解得m=0
检验：当m=0时，f(x)＝log2(1+x4)?
1
1+x2 ，f（-x）=f（x）成立，函数为偶函数
函数在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数
（Ⅱ）由（1）的单调性，可得f（x+k）＞f（|3x+1|）等价于x+k＞|3x+1|≥0或x+k＜-|3x+1|＜0，
转化为（x+k）2＞（3x+1）2成立，因式分解为（4x+k+1）（2x-k+1）＜0
讨论①当k＝
1
3 时，不等式的解集为空集；
②当k＜
1
3 时，
k?1
2 ＜
?k?1
4 ，不等式的解集为（
k?1
2 ，
?k?1
4 ）；
③当k＞
1
3 时，
k?1
2 ＞
?k?1
4 ，不等式的解集为（
?k?1
4 ，
k?1
2 ）
综上所述，当k＝
1
3 时，不等式的解集为空集；当k＜
1
3 时，不等式的解集为（
k?1
2 ，
?k?1
4 ）；
当k＞
1
3 时，不等式的解集为（
?k?1
4 ，
k?1
2 ）．

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