已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量O

已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量O

1）设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,直线AB：y=x-c,联立消去y可得： (a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0,令A=(x1,y1),B=(x2,y2),则x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2) ,x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),向量OA+ OB=(x1+x2,y1+y2), 与向量a=(3,-1)共线,所以3（y1+y2）+（x1+x2）=0,即3（x1-c+x2-c）+（x1+x2）=0,4（x1+x2）-6c=0,化简得：a^2=3b^2.椭圆过点（√3,-1）,所以3/a^2+1/b^2=1,联立解得：a^2=6,b^2=2.椭圆方程为x^2/6+y^2/2=1.2）椭圆x^2/6+y^2/2=1 即：x^2+3y^2=6 ,① 设向量OM=(x,y),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2) (x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2) 即：x=λx1+μx2 y=λy1+μy2 M在椭圆上,把坐标代入椭圆方程① （λx1+μx2）^2+3(λy1+μy2)^2=6 ,λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2) +2λμ(x1*x2+3y1*y2)=6 ,② 直线过右焦点,直线方程即： y=x-c ,把直线代入椭圆,直线交椭圆于AB,求交点： (a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0 因为前面已证a^2=3b^2,所以c^2=a^2-b^2=2b^2, 由韦达定理： x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2)=3/2*c, x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=3/8*c^2 ∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1*x2-3(x1+x2)c+3c^2 =3/2c^2-9/2c^2+3c^2=0 而A,B在椭圆上： x1^2+3y1^2=6 ,x2^2+3y2^2=6 全部代入②知： λ^2+μ^2=1 为定值.

这个解释是对的