二次型正定的问题。。

F（x1，x2,x3,..,xn）=x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + x3^2 +。。。+ xn^2
判断它是否正定。

解。取x1=1 x2=-1 x3到xn都等于0
X=[1,-1,0,0,0,...0]的转置 X不等于零矩阵。
但是此时F（x1，x2,x3,..,xn）= 0
所以不正定。

这个解法的依据是什么啊。看不懂。。不知所云啊。。麻烦讲一下。。

根据就是正定二次型的定义
根据正定二次型的定义，对于任意不全为0的x1,x2……xn,有F(X1,X2,……xn)>0
而题目中，很明显存在一个非0的x=[1,-1,0,0,0,...0],使F(x1,x2,……xn)=0，所以F不是正定二次型

解: 由 x1^tax1 = 0, 左乘a^t得 (ax1)^t(ax1)=0 所以必有 ax1 = 0. 故x1是ax=0的解向量. 同理x2是ax=0的解向量. 所以ax=0 有2个线性无关的解向量x1,x2 所以 3-r(a)>=2, 即 r(a)<=1 显然a非零, 所以 r(a)>=1 故 r(a)=1. 再由 tr(a)=1+1+1=3 知 a的特征值为3,0,0 所以此二次型经正交变换所得的标准形为 3y1^2.